Clever Geek Handbook
📜 ⬆️ ⬇️

Autowaves

Autowaves ( eng. Autowaves [approx. 1] ) are self - sustaining nonlinear waves in active media (that is, containing distributed energy sources). The term mainly applies to processes where the wave carries relatively small energy, which is necessary for synchronization or switching of the active medium.

Content

Introduction

Relevance and relevance

 Autowaves (AB) are distributed analogues of self-oscillations in concentrated systems. Their examples are combustion waves, nerve impulses, distribution waves of tunnel junctions (in semiconductors), etc. Autowave processes (WUAs) are the basis of most processes of control and transmission of information in biological systems. (...) An interesting feature of active media is that autowave structures (ABC) can occur in them (...) The importance of ABC is determined by the following:
1. AB and ABC can be implemented in systems of any physical nature, the dynamics of which are described by equations of the form (1) .
2. This is a new type of dynamic processes generating a macroscopic linear scale due to local interactions, each of which does not have a linear scale.
3. ABC are the basis of morphogenesis in biological systems.
4. The emergence of ABC - a new mechanism of turbulence in active media.
[B: 1]		 

In 1980, Soviet scientists Ivanitsky, Genrikh Romanovich , Ch.-k. USSR Academy of Sciences , Director, Krinsky, Valentin Izrailevich , Head. Laboratory, Zaikin, Albert Nikolaevich , Art. n with. IBFAN ; Zhabotinsky, Anatoly Markovich , head. Laboratory NIIIBHS; Belousov, Boris Pavlovich , an analytical chemist, became laureates of the highest state award of the USSR, Lenin Prize " for discovering a new class of autowave processes and studying them in violation of the stability of excitable distributed systems ."

Brief Historical Information

Academician A. A. Andronov was actively engaged in the study of auto-oscillations , and the term “auto-oscillations” was introduced into Russian-language terminology by A. A. Andronov in 1928. His followers from NNGU subsequently made a great contribution [approx. 2] in the development of autowave theory.

The simplest autowave equations describing the combustion processes were studied by A. N. Kolmogorov [A: 1] , I. E. Petrovsky, N. S. Piskunov in 1937, and also by J. B. Zel'dovich and D. A. Frank- Kamenetsky [A: 2] in 1938

The classic axiomatic model of auto-waves in the myocardium was published in 1946 by Norbert Wiener and Arthur Rosenbluth . [A: 3]

In the period 1970-1980. the main efforts to study autowaves were concentrated at the IBPhAN of the USSR Academy of Sciences , located in the Pushchino town near Moscow. It was here that under the guidance of V. I. Krinsky , world-famous experts in the field of the study of autowaves were brought up: A. V. Panfilov, I. R. Efimov , R. R. Aliev, K. I. Agladze , O. A. Mornev, M.A. Tsyganov. Also in Pushchino, at the neighboring institute of the IMPB RAS , in the laboratory of E.E. Shnol , V.V.Biktashev, Yu. E. Elkin, A.V. Moskalenko gained experience in working with the autowave theory.

Probably, it was precisely in Pushchino that the term “autowaves” was proposed by analogy with the “auto-oscillations” that had already taken root.

Almost immediately after the collapse of the USSR, many of the listed Pushkin scientists went to work in foreign institutes, where they continue to research autowaves. In particular, I. R. Efimov owns the development of the theory of a virtual electrode [A: 4] arising from defibrillation .

Russian scientists A. N. Zaikin and E. Ш. Shnol (autowaves and bifurcation memory in the blood coagulation system) are also known for their research on autowaves [A: 5] [A: 6] ; A. Yu. Loskutov (general autowave theory, as well as dynamic chaos in autowaves) [B: 2] ; V. G. Yakhno (general autowave theory, as well as autowaves and the process of thinking) [A: 7] ; K. I. Agladze (autowaves in chemical media) [A: 8] [A: 9] ; VV Biktashev (general autowave theory, as well as different types of drift of autowave reverbs) [A: 10] [A: 11] ; O. A. Mornev (general autowave theory) [A: 12] [A: 13] ; M. A. Tsyganov (the role of autowaves in population dynamics) [A: 14] ; Yu. E. Yelkin, A. V. Moskalenko ( bifurcation memory in the myocardial model) [A: 15] [A: 16] .

Of foreign researchers, a huge role belongs to Denis Noble and his Oxford University team in the development and study of autowave models of various types of myocardium.

Basic Definitions

One of the first definitions of autowaves was as follows:

 Autowaves are now understood to mean a self-sustaining wave process in a nonequilibrium medium, which remains unchanged with fairly small changes in both the initial and boundary conditions. (...) The mathematical apparatus for describing autowaves is most often diffusion-type equations with active nonlinearity.
[B: 1]		 

Unlike linear waves - sound, electromagnetic, and others, characteristic of conservative systems and mathematically described using linear second-order hyperbolic equations ( wave equations ), the dynamics of an autowave in terms of differential equations can be described by second-order parabolic equations with a non-linear free term of a special form . Specific type of free memberf→(u→) {\ displaystyle {\ vec {f}} ({\ vec {u}})}   plays an extremely important role because:

 all wave processes are generated by the dynamics of a nonlinear point systemu→˙=f→(u→) {\ displaystyle {\ dot {\ vec {u}}} = {\ vec {f}} ({\ vec {u}})}   which is self-oscillating or potentially self-oscillating.
[B: 1]		 

Usuallyf {\ displaystyle f}   It hasN {\ displaystyle N}   -dependence onu {\ displaystyle u}   . In this sense, the system of equations, known as the Aliyev-Panfilov model [A: 17] , is a very exotic example:f(u) {\ displaystyle f (u)}   it has a very complex form of two intersecting parabolas, moreover, intersected by two straight lines, which leads to even more pronounced nonlinear properties of this model.

The autowave is an example of a self-sustaining wave process in extended nonlinear systems containing distributed energy sources. For simple autowaves, the period, wavelength , propagation velocity, amplitude and other characteristics of the autowave are determined exclusively by the local properties of the medium. However, in the 21st century, researchers began to discover an increasing number of examples of autowave solutions when this “classical” principle is violated (see also general information in the literature, for example, in [B: 3] [B: 4] [B: 5 ] [B: 2] [B: 6] [A: 18] [A: 15] [A: 16] [A: 5] [A: 6] ).

The simplest examples.

 
The solution of the Fisher equation in the form of a switching wave front (see details in the article “ Reaction-diffusion type systems ”).

The simplest everyday model of an autowave is a series of domino bones that fall sequentially if you drop the extreme one ( domino principle ). This is an example of a switching wave .

As another example of an autowave, imagine you are standing on a field and setting fire to grass. As long as the temperature is below the threshold, the grass does not catch fire. When the threshold temperature (ignition temperature) is reached, the grass begins the combustion process, with the release of heat sufficient to ignite neighboring areas. The result is a front of fire that runs across the field. Moreover, they say that an autowave has arisen, one of the results of self-organization in thermodynamically active nonequilibrium systems . After some time, a new one grows on the site of the burned grass, and the area occupied by the grass again acquires the ability to ignite.

In addition to the motion of the combustion front, autowave processes include vibrational chemical reactions in active media ( Belousov-Zhabotinsky reaction ), propagation of an excitation pulse along a nerve fiber, chemical signaling waves in colonies of certain microorganisms, autowaves in ferroelectric and semiconductor films, population autowaves, epidemics and genes and many other phenomena.

The nerve impulse, which serves as a typical example of an autowave in an active medium with recovery, was studied by Helmholtz as early as 1850. The properties of a nerve impulse typical of the simplest autowave solutions (universal shape and amplitude, independent of the initial conditions, and annihilation in collisions) were established in 20s and 30s of the XX century.

 
Schematic representation of an electrophysiological record of an action potential , showing different phases of an excitation wave passing through a fixed point on the cell membrane .

Consider a two-dimensional active medium consisting of elements, each of which can be in three different states: rest, excitement, and refractoriness. In the absence of external influences, the element is at rest. As a result of exposure, when the activator concentration reaches a threshold value, the element goes into an excited state, acquiring the ability to excite neighboring elements. Some time after the excitation, the element switches to the refractoriness state, in which it cannot be excited. Then the element itself returns to its original state of rest, again acquiring the ability to go into an excited state. The leading edge of the autowave (transition from rest to the state of excitation) is usually very small: for example, for heart tissue, the ratio of the duration of the front to the entire pulse is approximately 1: 330. An excitation wave moves along an excitable medium without attenuation, while maintaining a constant shape and amplitude. During its passage, energy losses (dissipation) are fully compensated by supplying energy from the elements of the medium.

It has been demonstrated [A: 19] that ventricular fibrillation can be considered as the chaotic behavior of myocardial excitation vortices.

 As we now know, the emergence of reverbs and their subsequent propagation is at the heart of fibrillation. It took about 10 years to experimentally confirm the multiplication of reverbs in the myocardium. This was done (using the multi-electrode mapping technique) in the late 1970s in a number of laboratories: M.E. Josephson and colleagues, M.J. Janson with colleagues, K. Harumi with colleagues and M.A. Alessi with colleagues.
V. Krinsky et al. [B: 7]		 

Unique opportunities for the study of autowave processes in two- and three-dimensional active media with the most diverse kinetics are provided by methods of mathematical modeling using computers. For computer simulation of autowaves, the generalized Wiener-Rosenbluth model is used, as well as a large number of other models , among which the FitzHugh-Nagumo models (the simplest model of the active medium and its various variants) and the Hodgkin-Huxley model (nerve impulse) occupy a special place. There are also many autowave myocardial models: the Biller-Reuters model, several Noble models (developed by Denis Noble ), the Aliyev-Panfilov model, the Fenton-Karma model, etc.

Basic properties of autowaves

It was also proved [A: 20] that the simplest autowave regimes should be characteristic of all active media, since a system of differential equations of any complexity that describes a particular active medium can be simplified to two equations.

Main known autowave objects

First of all, it should be noted that the elements of the active medium can be in at least three very different states, namely: self-oscillating mode , excitable mode and trigger mode (or bistable mode ). [B: 1] [A: 18] . Accordingly, there are three types of homogeneous active media composed of such elements.

A bistable element has two stable stationary states, the transitions between which occur upon external action exceeding a certain threshold. In media from such elements, waves of switching from one state to another arise. For example, a falling domino (the example already cited above) is a classic example of a switching autowave, which is perhaps the simplest autowave phenomenon. Another simplest example of a bistable environment is burning paper: a wave of paper switching from a normal state to its ash propagates through it in the form of a flame.

The excitable element has only one stable stationary state. An external influence exceeding the threshold level can bring an element out of a stable state and force it to undergo some evolution before it returns to this state. During transitions, the active element is able to influence the elements associated with it and, in turn, remove them from the stationary state. As a result, an excitation wave propagates in such a medium. This is the most common type of autowave in biological media such as nerve tissue, or cardiac muscle.

 
Phase portraits (left column) and the corresponding behavior (right column) of the active medium element: row A - excitable, B - bistable, C - self-oscillating types of elements.

A self-oscillating element has no stationary states and constantly makes stable self-oscillations of a certain shape, amplitude and frequency. External influence can disturb these fluctuations. After some relaxation time, all of their characteristics except the phase will return to their stable value, but the phase may change. As a result, phase waves propagate from such elements in the medium. These are, for example, waves in an electric garland and some chemical media. An example of a self-oscillating medium is the sinus node of the heart , in which excitation pulses spontaneously occur.

From the phase portrait of the basic system of equations describing the active medium, it is clearly seen (see Fig.) That the significant difference between these three types of medium behavior is caused by the number and position of singular points. The shape of the autowaves observed in reality can be very similar, and it can be difficult to determine the type of element from the shape of the excitation pulse.

Naturally, the existence of combined active media, which are composed of different types of elements, is possible. One example of a highly organized combined active medium is precisely the heart .

In addition, what autowave phenomena can be observed and investigated depends to a large extent on the geometric and topological features of a particular active medium.

Pacemakers

The self-oscillatory regime of the active medium is often called the “ pacemaker ”, and the section of the active medium itself is called, respectively, the “ pacemaker ”.

 PEYSMEKER (English pacemaker, lit. - setting the pace), pacemaker, oscillator, specialist. cells capable of generating and sustaining vibrations, which are transmitted along the pathways and involve other cells in the biol. rhythms.
"Biological Encyclopedic Dictionary." Ch. ed. M.S. Gilyarov; Editorial: A. A. Babaev, G. G. Vinberg, G. A. Zavarzin et al. - 2nd ed., Rev. - M .: Owls. Encyclopedia, 1986.		 

As early as the 1970s, studies were launched aimed at controlling individual groups of neurons, and in particular, at studying ways to transfer individual neurons to pacemaker mode. At that time, certain successes were already achieved in solving the intended task.

 Исследования, проведённые школой Е.Н.Соколова, убедительно показывают, что запуск пейсмекерных потенциалов действия может осуществляться некоторым эндогенным механизмом, генерирующим подпороговый пейсмекерный потенциал и независимым от основного механизма генерации импульсов типа Ходжкина-Хаксли . В качестве первой модели такого механизма (до необходимых уточнений) можно взять модель Молчанова-Селькова, имеющую полный набор возможных периодов колебаний, зависящих от одного параметра β{\displaystyle \beta }   :

∂ξ∂t=β-ξη2{\displaystyle {\partial \xi \over \partial t}=\beta -\xi \eta ^{2}}   ; ∂η∂t=ξη2-ξ{\displaystyle {\partial \eta \over \partial t}=\xi \eta ^{2}-\xi }   (6)
Here β{\displaystyle \beta }   — поток "субстрата", ξ{\displaystyle \xi }   — основная переменная биохимической реакции,η {\ displaystyle \ eta}   — "продукт".
Независимость двух механизмов активности нейрона мы понимаем в том смысле, что переменные этих механизмов независимы и воздействуют на параметры другой системы.
(...)
Эндогенный механизм типа (6) может менять параметры основного механизма, запуская режим пейсмекерной активности (РПА), либо, что гораздо тоньше, может уменьшать величину порога. Это создаёт возможность резонансного РПА при подпороговых значениях запускающего механизма . В частности, основой такого резонанса может служить эффект уменьшения порога на выходе из гиперполяризации, если в этой фазе происходит повышение порогового пейсмекерного потенциала. Природа могла воспользоваться этой возможностью и эволюционно отобрать эндогенный механизм (6) с нужным периодом .

Э.А.Лямин, стр. 3-27 [B: 8]		 

Уже из этого короткого процитированного отрывка хорошо видно, что ещё в биофизических исследованиях 1970-х годов были выявлены принципы, которые могут быть положены в основу работы психотронного оружия .

Одномерные автоволны

К одномерным автоволнам относят случаи их распространение по кабелю и распространение в кольце, причём последний режим рассматривается как предельный случай вращающейся волны в двумерной активной среде, а первый — как распространение в кольце с нулевой кривизной (то есть с бесконечно большим радиусом).

Двумерные автоволны

 
Автоволновой ревербератор , полученный при компьютерном моделировании, с использованием реакционно-дифузионной системы типа модели ФитцХью-Нагумо (ε=0.1, β=0.400).

Известен целый ряд источников автоволн в двумерной активной среде. Так для реентри [прим. 3] , известного ещё с 19-го века механизма аритмий сердца , теперь различают как минимум четыре типа источников: бег по кольцу , спиральная волна , ревербератор ( двумерный автоволновой вихрь ) и фибрилляция как хаотическое поведение множества ревербераторов. В литературе называют два типа источников концентрических автоволн в 2D активных средах: пейсмейкеры и ведущие центры . Ведущие центры и ревербераторы интересны тем, что они не привязаны к структуре среды и могут возникать и исчезать в разных её местах. Также источниками автоволн могут быть зоны повышенного автоматизма: 1) вызванная автоматия , а также 2) триггерная автоматия по механизму ранней постдеполяризации и 3) триггерная автоматия по механизму поздней постдеполяризации . [B: 9]

Ещё о 2D [A: 21] [A: 11]

См. подробнее вращающиеся автоволны : Спиральная автоволна и Автоволновой ревербератор .

Трёхмерные автоволны

 
Примеры автоволновых 3D-вихрей: А — простой свиток; Б — простое вихревое кольцо (автоволновой тор)

Ещё более сложные типы ре-ентри (см. рис.) возникают «в трехмерном случае», выражаясь языком математиков. Прямым обобщением спиральной волны на трехмерное пространство является простой свиток , у которого вращение происходит вокруг некоторой прямой линии, называемой нитью [A: 10] .

В дополнение к такому простейшему трехмерному автоволновому ре-ентри, нить свитка может быть произвольно искривлена, или даже замкнута (в последнем случае свиток превращается в автоволновой тор ).

Вдоль нити может меняться фаза вращения свитка, и в этом случае свиток называют скрученным свитком . Некоторые авторы (например, Елькин [A: 18] со ссылкой на классические работы Артура Винфри [A: 22] [A: 23] [A: 24] [A: 25] ) указывают, что, несмотря на значительно большее разнообразие трехмерных автоволновых режимов в сравнении с двумерным случаем, « существуют определенные топологические ограничения, значительно сокращающие разнообразие трехмерных автоволновых структур, — например, не может существовать одиночный скрученный кольцевой свиток »; в этом случае, по утверждению Баркли и соавт. [A: 26] , с точки зрения топологии должна быть ещё одна нить, проходящая через центр такого скрученного тора (англ.: twisted scroll ring).

Отметим ещё раз, что описанные здесь автоволновые явления являются не только математическими феноменами, но наблюдались в многочисленных натурных экспериментах с активными средами различной природы, в том числе в реакционно-диффузионных химических системах, в сердечной ткани [A: 27] [A: 10] .

Примеры автоволновых процессов в природе

Автоволновой режим кипения

Автоволны в химических растворах

Примером химической реакции, в которой при некоторых условиях могут возникать автоволны, является реакция Белоусова—Жаботинского [A: 28] [A: 29] [B: 10] [B: 11] [B: 12] .

Волны в химических системах можно классифицировать по их принадлежности к группам триггерных или фазовых волн.

Термин «триггерные волны» подразумевает, что они являются волнами переключения между двумя состояниями системы, причем конечное состояние системы после прохождения волны может совпадать с её исходным состоянием (двойное переключение). Триггерные волны могут возникать как в колебательной среде, так и в среде с устойчивым стационарным состоянием, но при условии её возбудимости.

Фазовые волны по определению связаны с перемещениями в пространстве фазы колебаний, происходящих в каждой точке пространства, а значит могут существовать только в колебательной системе. Фазовые волны могут быть как высоко-, так и низкоамплитудными и иметь практически любую скорость. В случае волновых пакетов (или пакетных волн), являющихся специфическим случаем фазовых волн, амплитуда колебаний мала и эти волны имеют синусоидальный вид, а их скорость определяется групповой и фазовой скоростями.

Для классификации волн можно также обратиться к их различиям в геометрических формах и выделить плоские, концентрические и спиральные волны. Как триггерные, так и фазовые волны могут быть спиральными и в виде окружностей с четко выраженным центром («пейсмекеры» или «мишени»). Если учесть направление движения волн (к центру или от центра), то спиральные и концентрические волны могут быть как «нормальными», движущимися от центра, так и «антиспиралями» и «антипейсмекерами», то есть волнами движущимися к центру. Известны только фазовые волны, которые могут двигаться к центру возмущения (в этом случае фундаментальный принцип причинности не нарушается). Пакетные волны после многочисленных отражений от стенок могут преобразовываться в стоячие волны, аналогичные, например, механическим стоячим волнам при колебаниях струн и акустическим (или электромагнитным) стоячим волнам [A: 30] .

Автоволновые модели биологических тканей

Автоволновые модели сетчатки глаза

Автоволновые модели нервного волокна

Основная статья находится на странице « Модель Ходжкина — Хаксли »

Автоволновые модели миокарда

Классическая модель Винера-Розенблюта [A: 3] . Разработана, соответственно, Норбертом Винером и Артуром Розенблютом .

Другие примеры: модель ФитцХью-Нагумо, модель Билера-Рейтера и несколько других [A: 21] [A: 31] .

Автоволны в системе свёртывания крови

См. список Литературы [A: 5] [A: 6] .

Популяционные автоволны

 Коллективные амёбы Dictyostelium discoideum при наличие достаточного питания живут в виде одноклеточных организмов . Однако при голодании они сползаются и образуют многоклеточный организм , который впоследствии даёт споры , способные пережить неблагоприятные условия. Установлено, что движение амёб управляется распределением по среде некоторого вещества — морфогена цАМФ. Клетки амёб синтезируют и накапливают в себе молекулы цАМФ и способны «высвободить» его запас в окружающую среду, если концентрация цАМФ в ней повысилась. Освободившееся количество цАМФ распространяется за счёт диффузии по среде и заставляет следующие клетки амёб «сработать», выбросив свою порцию морфогена. В результате по среде распространяется автоволна — повышенная концентрация цАМФ. После прохождения волны «разрядившиеся» клетки начинают вновь накапливать за счёт синтеза определённую порцию цАМФ и по прошествии некоторого времени способны «срабатывать» вновь. Таким образом, популяция коллективных амёб служит типичным примером активной среды.
В.Е. Кринский, А.ВС. Михайлов, 1984 [B: 3]		 

See also

  • Дифференциальное уравнение в частных производных
  • Автоколебание
  • Активная среда
  • Самоорганизация
  • Волна
  • Нелинейная волна
  • Стоячая волна
  • Резонанс
  • Фазовая скорость

Notes

  1. ↑ Термин «автоволны» введён в 1970-х годах [ уточнить ] советской школой физиков и биофизиков, занимающихся изучением нелинейных волновых процессов, и с тех пор широко используется в русскоязычной научной литературе. В иностранной научной литературе соответствующее заимствование из русского языка ( autowaves ) встречается редко. Например, см.:
    • Zhabotinsky AM , AN Zaikin. Autowave processes in a distributed chemical system // Journal of Theoretical Biology: Journal. - 1973. - Vol. 40 , no. 1 . - P. 45–56 . - ISSN 0022-5193 . - DOI : 10.1016 / 0022-5193 (73) 90164-1 .
    • Georgii B Manelis et al. Autowave processes in the filtration combustion in counterflow systems ( Russian ) // Russian Chemical Reviews: journal. - 2012. - Vol. 81 , no. 9 . - P. 855– . - ISSN 1468-4837 . - DOI : 10.1070 / RC2012v081n09ABEH004279 .
    He is given in the dictionaries; e.g. Universal English-Russian Dictionary. Akademik.ru. 2011 .
  2. ↑ For example, M.T. Grekhova , Honorary Citizen of Nizhny Novgorod and Honored Worker of Science and Technology of the RSFSR , was the editor-in-chief of the collection “Autowave Processes in Systems with Diffusion” 1981 - see references
  3. ↑ The word is borrowed; English spelling: re-entry. In Russian-language literature, several variants of its transmission in Cyrillic are widespread: reentry, reentry, ri-entry.

Literature

  • Books
  1. ↑ 1 2 3 4 Autowave processes in systems with diffusion / Ed. M.T. Grekhova (editor-in-chief), and others. - Gorky: Institute of Applied Mathematics, USSR Academy of Sciences, 1981. - 287 p. - 1000 copies.
  2. ↑ 1 2 Loskutov A. Yu. , Mikhailov A. S. Introduction to synergetics: Textbook. leadership. - M .: Nauka, 1990 .-- 272 p.
  3. ↑ 1 2 Krinsky V.I. , Mikhailov A.S. Autowaves. - M .: Knowledge, 1984. - 64 p.
  4. ↑ Vasiliev V.A. , Romanovsky Yu.M. , Yakhno V.G. Autowave processes. - M .: Nauka, 1987 .-- 240 p.
  5. ↑ Physical Encyclopedia / Ed. A.M. Prokhorova . - M .: Soviet Encyclopedia, 1988. - T. 1. - 704 p.
  6. ↑ Loskutov, A. Foundation of Synergetics II. Complex Patterns: [ eng. ] / A. Loskutov, AS Mikhailov. - Berlin: Springer, 1995 .-- P. 210.
  7. ↑ Krynsky V.I. , Medvinsky A. B. , Panfilov A. V. Evolution of autowave vortices (waves in the heart) (Russian) / Ch. industry ed. L.A. Erlykin. - Moscow: Knowledge, 1986. - (Mathematics / Cybernetics).
  8. ↑ Modeling of excitable structures / Resp. ed. IN AND. Hooks . - Pushchino: ONTI NTsBI AN USSR, 1975. - 243 p. - 500 copies.
  9. ↑ Yelkin Yu.E. , Moskalenko A.V. Basic mechanisms of cardiac arrhythmias // Clinical Arrhythmology / Ed. prof. A.V. Ardasheva . - M .: MEDPRAKTIKA-M, 2009 .-- 1220 p. - ISBN 978-5-98803-198-7 .
  10. ↑ Jabotinsky A. M. Concentrational self-oscillations. - M .: Nauka, 1974. - ??? with.
  11. ↑ Oscillations and traveling waves in chemical systems / Ed. R. Field and M. Burger. - M .: Mir, 1988.
  12. ↑ Vanag V.K. Dissipative structures in reaction-diffusion systems. Experiment and theory. - M. - Izhevsk: RCD , 2008 .-- 300 p. - ISBN 978-5-93972-658-0 .
  • Articles
  1. ↑ Kolmogorov A. et al. // Moscow Univ. Bull. Math. A: magazine. - 1937.- T. 1 . - S. 1— .
  2. ↑ Zeldovich YB , Frank-Kamenetsky DA // Acta Physicochim. : magazine. - 1938.- T. 9 . - S. 341— .
  3. ↑ 1 2 Wiener N. , Rosenblut A. Mathematical formulation of the problem of conducting pulses in a network of coupled excited elements, in particular in the heart muscle // Cybernetic collection. Vol. 3. - M .: Foreign literature, 1961. - S. 7-56.
  4. ↑ Sambelashvili AT , Nikolski VP , Efimov IR Virtual electrode theory explains pacing threshold increase caused by cardiac tissue damage (Eng.) // Am J Physiol Heart Circ Physiol: Journal. - 2004. - Vol. 286 , no. 6 . - P. H2183 — H2194 . - DOI : 10.1152 / ajpheart.00637.2003 .
  5. ↑ 1 2 3 Ataullakhanov F.I. , Zarnitsyna V.I. , Kondratovich A. Yu. , Lobanova E.S. , Sarbash V.I. A special class of autowaves - autowaves with a stop - determines the spatial dynamics of blood coagulation // UFN: magazine. - 2002. - T. 172 , No. 6 . - S. 27-690 . - ISSN 0042-1294 . - DOI : 10.3367 / UFNr.0172.200206c.0671 .
  6. ↑ 1 2 3 Ataullakhanov F.I. , Lobanova E.S. , Morozova O.L. , Shnol E.E. , Ermakova E.A. , Butylin A.A. , Zaikin A.N. ,. Complex modes of propagation of excitation and self-organization in a blood coagulation model // UFN: Journal. - 2007. - T. 177 , No. 1 . - S. 87-104 . - ISSN 0042-1294 . - DOI : 10.3367 / UFNr.0177.200701d.0087 .
  7. ↑ Vasiliev VA , Romanovsky Yu M , Yakhno V. G. Autowave processes in distributed kinetic systems // UFN: Journal. - 1979.- T. 128 . - S. 625–666 . - DOI : 10.3367 / UFNr.0128.197908c.0625 .
  8. ↑ Agladze KI , Krinsky VI Multi-armed Vortices in an Active Chemical Medium (Eng.) // Nature: Journal. - 1982. - Vol. 296 . - P. 424-426 .
  9. ↑ Agladze KI , Krinsky VI , Pertsov AM Chaos in the Non-Stirred Belousov-Zhabotinskii Reaction is Induced by Interaction of Waves and Stationary Dissipative Structures (Eng.) // Nature: Journal. - 1984. - Vol. 308 . - P. 834–835 .
  10. ↑ 1 2 3 Biktashev VN , Holden AV , Zhang H .,. Tension of organizing filaments of scroll waves // Phyl. Trans. Roy. Soc. London, ser A: Journal. - 1994 .-- T. 347 . - S. 611-630 .
  11. ↑ 1 2 Biktashev VN , Holden AV Resonant drift of autowave vorteces in two dimensions and the effect of boundaries and inhomogeneities // Chaos Solitons & Fractals: Journal. - 1995. - S. 575-622 .
  12. ↑ Aslanidi OV , Mornev OA Can colliding nerve pulses be reflected? // Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters: Journal. - 1997. - T. 65 , No. 7 . - S. 579-585 . - ISSN 0021-3640 . - DOI : 10.1134 / 1.567398 .
  13. ↑ Mornev OA Refraction of autowaves: Tangent rule (Eng.) // Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters: Journal. - 2004. - Vol. 80 , no. 12 . - P. 721-724 . - ISSN 0021-3640 . - DOI : 10.1134 / 1.1868793 .
  14. ↑ Agladze K. , Budrene L. , Ivanitsky G. , Krinsky V. , Shakhbazyan V. , Tsyganov M. Wave mechanisms of pattern formation in microbial population (English) // Proc. R. Soc. Lond. B: magazine. - 1993. - Vol. 253 . - P. 131–135 .
  15. ↑ 1 2 Elkin Yu. E. , Moskalenko A.V. , Starmer Ch. F. Spontaneous stop of the spiral wave drift in a homogeneous excitable medium // Mathematical Biology and Bioinformatics: Journal. - 2007. - T. 2 , No. 1 . - S. 73-81 . - ISSN 1994-6538 .
  16. ↑ 1 2 Moskalenko AV , Elkin Yu. E. The lacet: a new type of the spiral wave behavior (Eng.) // Chaos, Solitons and Fractals: Journal. - 2009. - Vol. 40 , no. 1 . - P. 426-431 . - ISSN 0960-0779 . - DOI : 10.1016 / j.chaos.2007.07.07.081 .
  17. ↑ Aliev R. , Panfilov A. A simple two-variable model of cardiac excitation // Chaos, Solutions & Fractals: Journal. - 1996. - T. 7 , No. 3 . - S. 293-301 .
  18. ↑ 1 2 3 Elkin Yu. E. Autowave processes // Mathematical Biology and Bioinformatics: Journal. - 2006. - T. 1 , No. 1 . - S. 27-40 . - ISSN 1994-6538 .
  19. ↑ Krinsky V.I. Excitation propagation in an inhomogeneous medium (modes similar to cardiac fibrillation) (Russian) // Biophysics: Journal. - 1966. - T. 11 , No. 4 . - S. 676—? .
  20. ↑ Krinsky V.I. , Kokoz Yu. M. Analysis of the equations of excitable membranes III. Purkinje fiber membrane. Reduction of the Noble equation to a second-order system. Analysis of the anomaly of null-isocline // Biophysics: Journal. - 1973. - T. 18 , No. 6 . - S. 1067-1073 . - ISSN 0006-3029 .
  21. ↑ 1 2 Winfree A. Varieties of spiral wave behavior: An experimentalist's approach to the theory of excitable media // Chaos: Journal. - 1991. - T. 1 , No. 3 . - S. 303—334 .
  22. ↑ Winfree A. Singular filaments organize chemical waves in three dimensions: I. Geometrically simple waves // Physica D: Journal. - T. 8 . - S. 35-49 .
  23. ↑ Winfree A. Singular filaments organize chemical waves in three dimensions: II. Twisted waves // Physica D: Journal. - T. 9 . - S. 65-80 .
  24. ↑ Winfree A. Singular filaments organize chemical waves in three dimensions: III. Knotted waves // Physica D: Journal. - T. 9 . - S. 333-345 .
  25. ↑ Winfree A. Singular filaments organize chemical waves in three dimensions: IV. Wave taxonomy // Physica D: Journal. - T. 13 . - S. 221-233 .
  26. ↑ Mantel R.-M. , Barkley D. Parametric forcing of scroll-wave patterns in three-dimensional excitable media // Physica D: Journal. - 2001 .-- T. 149 . - S. 107—122 .
  27. ↑ Keener JP The dynamics of 3-dimensional scroll waves in excitable media // Physica D: Journal. - 1988. - T. 31 , No. 2 . - S. 269—276 .
  28. ↑ Zaikin AN , Zhabotinsky AM Concentration wave propagation in two-dimensional liquid-phase self-oscillating system // Nature: Journal. - 1970.- T. 225 . - S. 535-537 .
  29. ↑ Zhabotinsky AM , AN Zaikin. Autowave processes in a distributed chemical system // Journal of Theoretical Biology: Journal. - 1973. - Vol. 40 , no. 1 . - P. 45–56 . - ISSN 0022-5193 . - DOI : 10.1016 / 0022-5193 (73) 90164-1 .
  30. ↑ Vanag V.K. Waves and dynamic structures in reaction-diffusion systems. Belousov-Zhabotinsky reaction in a reversed microemulsion // UFN: journal. - 2004. - T. 174 , No. 9 . - S. 992-1010 . - DOI : 10.3367 / UFNr.0174.200409d.0991 .
  31. ↑ Efimov IR , Krinsky VI , Jalife J. [Chaos, Solitons & Fractals Dynamics of rotating vortices in the Beeler-Reuter model of cardiac tissue]: journal. - 1995. - T. 5 , No. 3/4 . - S. 513-526 .

(Unassembled)

  • Zaslavsky G.M. , Sagdeev R.Z. Introduction to nonlinear physics: From the pendulum to turbulence and chaos. - M .: Nauka, 1988 .-- 368 p.
  • Osipov V.V. The simplest autowaves // Sorov Educational Journal: Journal. - ????. - T.? No.? . - S. ?? - ?? . Archived January 16, 2006.
  • Shelepin L.A. Far from equilibrium. - M .: Knowledge, 1987 .-- 64 p.

Links

  • some simple classic models of autowaves (JS + WebGL) by Evgeny Demidov, which can be run directly in a web browser.
Source - https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Auto-waves&oldid=100222845


More articles:

  • PHP-Fusion
  • Cyril (Pavlov)
  • Star (magazine XX — XXI centuries)
  • The End of Eternity (film)
  • Orlov-Davydov, Vladimir Vladimirovich
  • Weisfeld, Ilya Veniaminovich
  • Velembovskaya, Irina Aleksandrovna
  • Leloire, Luis Federico
  • Stotinka
  • Adept

All articles

Clever Geek | 2019