A schizophrenic number (also known as the Schizophrenic number , also known as a “ mock rational number ”) is an irrational number that has certain characteristics of rational numbers .
Content
Definition
The definition of schizophrenic numbers is given by the British astronomer and popularizer of science, in his :
An unofficial name for an irrational number, which in the decimal fraction has repeating sequences of digits in the fractional part, giving it a resemblance to a rational number. The schizophrenic number can be obtained as follows. For any positive integer n, let f (n) denote the integer given by the recurrence formula f (n) = 10 f (n - 1) + n with the initial value f (0) = 0. Thus, f (1) = 1 , f (2) = 12, f (3) = 123, etc. In this case, the square roots f (n) for odd integers n will have values that first contain periodic sequences of digits characteristic of rational numbers, but then turning into irrational. For example, the sequence of the first 500 digits √f (49) looks like this:
1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0860 555555555555555555555555555555555555555555555 2730541 66666666666666666666666666666666666666666 0296260347 2222222222222222222222222222222222222 0426563940928819 4444444444444444444444444444444 38775551250401171874 9999999999999999999999999999 808249687711486305338541 66666666666666666666666 5987185738621440638655598958 33333333333333333333 0843460407627608206940277099609374 99999999999999 0642227587555983066639430321587456597 222222222 1863492016791180833081844 ...1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0860 555555555555555555555555555555555555555555555 2730541 66666666666666666666666666666666666666666 0296260347 2222222222222222222222222222222222222 0426563940928819 4444444444444444444444444444444 38775551250401171874 9999999999999999999999999999 808249687711486305338541 66666666666666666666666 5987185738621440638655598958 33333333333333333333 0843460407627608206940277099609374 99999999999999 0642227587555983066639430321587456597 222222222 1863492016791180833081844 ...1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0860 555555555555555555555555555555555555555555555 2730541 66666666666666666666666666666666666666666 0296260347 2222222222222222222222222222222222222 0426563940928819 4444444444444444444444444444444 38775551250401171874 9999999999999999999999999999 808249687711486305338541 66666666666666666666666 5987185738621440638655598958 33333333333333333333 0843460407627608206940277099609374 99999999999999 0642227587555983066639430321587456597 222222222 1863492016791180833081844 ...1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0860 555555555555555555555555555555555555555555555 2730541 66666666666666666666666666666666666666666 0296260347 2222222222222222222222222222222222222 0426563940928819 4444444444444444444444444444444 38775551250401171874 9999999999999999999999999999 808249687711486305338541 66666666666666666666666 5987185738621440638655598958 33333333333333333333 0843460407627608206940277099609374 99999999999999 0642227587555983066639430321587456597 222222222 1863492016791180833081844 ...1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0860 555555555555555555555555555555555555555555555 2730541 66666666666666666666666666666666666666666 0296260347 2222222222222222222222222222222222222 0426563940928819 4444444444444444444444444444444 38775551250401171874 9999999999999999999999999999 808249687711486305338541 66666666666666666666666 5987185738621440638655598958 33333333333333333333 0843460407627608206940277099609374 99999999999999 0642227587555983066639430321587456597 222222222 1863492016791180833081844 ...1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0860 555555555555555555555555555555555555555555555 2730541 66666666666666666666666666666666666666666 0296260347 2222222222222222222222222222222222222 0426563940928819 4444444444444444444444444444444 38775551250401171874 9999999999999999999999999999 808249687711486305338541 66666666666666666666666 5987185738621440638655598958 33333333333333333333 0843460407627608206940277099609374 99999999999999 0642227587555983066639430321587456597 222222222 1863492016791180833081844 ...1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0860 555555555555555555555555555555555555555555555 2730541 66666666666666666666666666666666666666666 0296260347 2222222222222222222222222222222222222 0426563940928819 4444444444444444444444444444444 38775551250401171874 9999999999999999999999999999 808249687711486305338541 66666666666666666666666 5987185738621440638655598958 33333333333333333333 0843460407627608206940277099609374 99999999999999 0642227587555983066639430321587456597 222222222 1863492016791180833081844 ...1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0860 555555555555555555555555555555555555555555555 2730541 66666666666666666666666666666666666666666 0296260347 2222222222222222222222222222222222222 0426563940928819 4444444444444444444444444444444 38775551250401171874 9999999999999999999999999999 808249687711486305338541 66666666666666666666666 5987185738621440638655598958 33333333333333333333 0843460407627608206940277099609374 99999999999999 0642227587555983066639430321587456597 222222222 1863492016791180833081844 ...1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0860 555555555555555555555555555555555555555555555 2730541 66666666666666666666666666666666666666666 0296260347 2222222222222222222222222222222222222 0426563940928819 4444444444444444444444444444444 38775551250401171874 9999999999999999999999999999 808249687711486305338541 66666666666666666666666 5987185738621440638655598958 33333333333333333333 0843460407627608206940277099609374 99999999999999 0642227587555983066639430321587456597 222222222 1863492016791180833081844 ...1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0860 555555555555555555555555555555555555555555555 2730541 66666666666666666666666666666666666666666 0296260347 2222222222222222222222222222222222222 0426563940928819 4444444444444444444444444444444 38775551250401171874 9999999999999999999999999999 808249687711486305338541 66666666666666666666666 5987185738621440638655598958 33333333333333333333 0843460407627608206940277099609374 99999999999999 0642227587555983066639430321587456597 222222222 1863492016791180833081844 ...
It can be seen that the repeating sequences of numbers are getting shorter, and the length of the "disordered" sequences of numbers increases until the repeating sequences disappear altogether. Moreover, by increasing n, one can “set” the appearance of repeating sequences of digits for an arbitrarily long time. The numbers always appear in the sequence: 1, 5, 6, 2, 4, 9, 6, 3, 9, 2, ....
- 1111111111111111111111111.111111111111111111111111 0860
- 5555555555555555555555555555555555555555555555555 2730541
- 6666666666666666666666666666666666666666666 0296260347
- 222222222222222222222222222222222222222 0426563940928819
- 444444444444444444444444444444444 38775551250401171874
- 9999999999999999999999999999 808249687711486305338541
- 6666666666666666666666666 5987185738621440638655598958
- 3333333333333333333333 0843460407627608206940277099609374
- 99999999999999 0642227587555983066639430321587456597
- 222222222 1863492016791180833081844 ...
- 5555555555555555555555555555555555555555555555555 2730541
- 1111111111111111111111111.111111111111111111111111 0860
- The repeating strings become progressively shorter and the scrambled strings become larger until eventually the repeating strings disappear. However, by increasing n we can forestall the disappearance of the repeating strings as long as we like. The repeating digits are always 1, 5, 6, 2, 4, 9, 6, 3, 9, 2, .... [1]
The sequence of numbers generated by the recurrence formula f (n) = 10 f (n - 1) + n described above looks like this:
0, 1, 12, 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 1234567900, ... (sequence A014824 in OEIS ).
The whole parts of their square roots are respectively:
0, 1, 3, 11, 35, 111, 351, 1111, 3513, 11111, 35136, 111111, 351364, 1111111, ... (sequence A068995 in OEIS ), contain both numbers with repeating sequences of digits and numbers with "unordered »A set of numbers, similar to the alternation of numbers in the fractional parts of the values of square roots.
History
According to the American writer and science popularizer , schizophrenic numbers were discovered by Kevin Brown.
In his book Miracles of Numbers, Pickover described the history of schizophrenic numbers [2] :
- The construction and discovery of schizophrenic numbers was caused by the requirement (published in Usenet newsgroup sci.math) that an irrational random number should not contain repeating sequences of digits in the first 100 characters. It was noted that if such a sequence were found, it would be conclusive evidence of the existence of God or extraterrestrial intelligence. (An irrational number is any number that cannot be expressed as the ratio of two integers. Transcendental numbers, such as e and π, and others, such as the square root of 2, are irrational) .
Notes
- ↑ Darling, David (2004), The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes , John Wiley & Sons, p. 12, ISBN 9780471667001 , < https://books.google.com/books?id=HrOxRdtYYaMC&pg=PA12 > .
- ↑ Pickover, Clifford A. (2003), "Schizophrenic Numbers" , Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning , Oxford University Press, p. 210–211, ISBN 9780195157994 , < https://books.google.com/books?id=52N0JJBspM0C&pg=PA210 > .
Links
- Mock-Rational Numbers , KS Brown, mathpages.