History of mathematics

By topic
History of science

Maths
Natural Sciences
Astronomy
Biology
Botany
Geography
Geology
Soil science
Physics
Chemistry
Ecology
Social Sciences
Story
Linguistics
Psychology
Sociology
Philosophy
Economy
Technology
Computer Engineering
Agriculture
The medicine
Navigation
Categories

This article is a review of the main events and trends in the history of mathematics from ancient times to the present day.

In the history of mathematics there are several classifications of the history of mathematics, according to one of them there are several stages in the development of mathematical knowledge:

Formation of the concept of a geometric shape and number as an idealization of real objects and sets of homogeneous objects. Appearance of the account and measurements, which allowed to compare different numbers, lengths, areas and volumes.
The invention of arithmetic operations. Empirical accumulation (by trial and error) of knowledge about the properties of arithmetic operations, methods of measuring areas and volumes of simple figures and bodies. The Sumerian-Babylonian , Chinese and Indian mathematicians of antiquity advanced far in this direction.
The emergence in ancient Greece of a deductive mathematical system that showed how to get new mathematical truths based on existing ones. The crown of the achievements of ancient Greek mathematics were the Euclidean Principles , which played the role of a standard of mathematical rigor for two millennia.
The mathematicians of the countries of Islam not only preserved the antique achievements, but were also able to carry out their synthesis with the discoveries of Indian mathematicians, who in the theory of numbers advanced further than the Greeks.
In the 16th — 18th centuries, European mathematics was reborn and moved far ahead. Its conceptual basis during this period was the belief that mathematical models are a kind of ideal skeleton of the Universe ^[1] , and therefore the discovery of mathematical truths is also the discovery of new properties of the real world. The main success on this path was the development of mathematical models for the dependence of variables ( function ) and the general theory of motion ( analysis of infinitesimals ). All natural sciences were rebuilt on the basis of new mathematical models, and this led to their tremendous progress .
In the 19th — 20th centuries, it became clear that the relationship between mathematics and reality was far from as simple as it once seemed. There is no generally accepted answer to a kind of "fundamental question of the philosophy of mathematics " ^[2] : to find the cause of the "incomprehensible effectiveness of mathematics in the natural sciences" ^[3] . In this, and not only in this, respect, mathematicians are divided into many debating schools . Several dangerous tendencies have been noted ^[4] : an overly narrow specialization, isolation from practical problems, etc. At the same time, the power of mathematics and its prestige, supported by the efficiency of application, are higher than ever before.

In addition to great historical interest, the analysis of the evolution of mathematics is of great importance for the development of the philosophy and methodology of mathematics. Often, knowledge of history contributes to the progress of specific mathematical disciplines; for example, the ancient Chinese problem (theorem) on residuals formed a whole section of number theory .

The emergence of arithmetic and geometry

Mathematics in the system of human knowledge is a section dealing with such concepts as quantity , structure , ratio, etc. The development of mathematics began with the creation of practical skills in counting and measuring lines , surfaces and volumes .

The concept of natural numbers was formed gradually and complicated by the inability of primitive man to separate numerical abstraction from its concrete representation. As a result, the expense remained for a long time only real — fingers, pebbles, marks, etc. were used. Archaeologist B. A. Frolov substantiates the existence of the account already in the upper Paleolithic ^[5] .

With the spread of the bill on large quantities, the idea appeared to consider not only units, but also, so to speak, packages of units containing, for example, 10 objects. This idea was immediately reflected in the language, and then in writing. The principle of naming or depicting a number (numbering) can be ^[6] :

additive (one + on + dats, XXX = 30)
subtractive (ix, ninth-no-hundred)
multiplicative (five * ten, three * hundred)

Inca counting device

Nits, knots, etc. were used to memorize the counting results. With the invention of writing, letters or special icons were used to shorten the image of large numbers. With this coding, the same numbering principle is usually reproduced as in the language.

The names of numbers from two (zwei, two, duo, deux, dvi, two ...) to ten, as well as dozens and numbers 100 are similar in Indo-European languages . This suggests that the concept of an abstract number appeared a long time ago, even before the separation of these languages. In the formation of numerals in most nations, the number 10 occupies a special position, so it is clear that the counting on the fingers was widespread. From here comes the ubiquitous decimal number system . Although there are exceptions: 80 in French quatre-vingt (that is, 4 twenties), and 90 in quatre-vingt-dix (4 * 20 + 10); This usage goes back to counting on the fingers and toes. The numerals of the Danish, Ossetian, Abkhaz languages are similarly arranged. Even more clearly through the twenties in the Georgian language. The Sumerians and Aztecs, judging by the language, were originally considered quintuples.

There are more exotic options. The Babylonians in the scientific calculations used the sixties decade system . And the natives of the Torres Strait Islands - binary ^[6] :

Urapun (1); Okoza (2); Okoza-Urapun (3); Okoza-Okoza (4); Okoza-Okoza-Urapun (5); Okoza-Okoza-Okoza (6)

When the concept of an abstract number was finally established, operations with numbers became the next step. The natural number is the idealization of a finite set of homogeneous, stable and indivisible objects (people, sheep, days, etc.) ^[7] . To count, you need to have mathematical models of such important events as the union of several sets into one or, conversely, the separation of a part of a set. So there were addition and subtraction operations . Multiplication for natural numbers appeared as a batch addition, so to speak. The properties and interrelationships of operations opened gradually.

Another important practical action - the division into parts - with time was abstracted into the fourth arithmetic operation - division . It is difficult to divide into 10 parts, therefore decimal fractions , convenient in complex calculations, appeared relatively late. The first fractions usually had a denominator of 2, 3, 4, 8, or 12. For example, the Romans had an ounce standard fraction (1/12). Medieval monetary and dimensional systems bear a clear imprint of ancient non-decimal systems: 1 English penny = 1/12 shillings , 1 inch = 1/12 feet , 1 foot = 1/3 yards , etc.

At about the same time as numbers, man abstracted flat and spatial forms. They usually received the names of real objects similar to them: for example, in Greeks, “ rombos ” means a top, “trapedsion” means a table ( trapezium ), and “ sphere ” means a ball ^[8] .

The theory of measurement appeared much later, and often contained errors: a characteristic example is the false doctrine of equality of the areas of figures with equality of their perimeters , and vice versa. This is not surprising: a measuring rope with knots or marks served as a measuring instrument, so the perimeter could be measured without difficulty, and there were no tools or mathematical methods to determine the area in general. Measurements were the most important use of fractional numbers and the source for the development of their theory.

Ancient East

Egypt

Hieroglyphic equation equation

x\left({\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+1\right)=37

{\ displaystyle x \ left ({\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {7}} + 1 \ right) = 37}

The oldest Egyptian mathematical texts belong to the beginning of the II millennium BC. er Mathematics was then used in astronomy, navigation, land surveying, in the construction of houses, dams, canals and military fortifications. Cash payments, as well as the money itself, in Egypt was not. The Egyptians wrote on papyrus, which is poorly preserved, and therefore at the present time knowledge about the mathematics of Egypt is much less than about the mathematics of Babylon or Greece. It was probably better developed than can be imagined on the basis of the documents that have come down to us, which is confirmed by the fact that Greek mathematicians learned from the Egyptians ^{[C 1]} .

The main surviving sources are the papyrus of Akhmes , also known as the papyrus of Rind (84 mathematical problems), and the Moscow papyrus of Golenishchev (25 problems), both from the Middle Kingdom , the heyday of ancient Egyptian culture. The authors of the text are unknown to us.

All tasks from the papyrus of Akhmes (recorded ca. 1650 BC) are of an applied nature and are associated with the practice of construction, the delimitation of land allotments, etc. The tasks are grouped not by methods, but by subject. Primarily, these are tasks for finding areas of a triangle, quadrilaterals and a circle, various actions with integers and aliquot fractions , proportional division, finding relationships, raising to different degrees, determining the arithmetic average , arithmetic progression , solving first and second degree equations with one unknown ^{[ 9]} .

There are no explanations or evidence whatsoever. The desired result is either given directly, or a brief algorithm for calculating it is given.

This method of presentation, typical of the science of the countries of the ancient East, suggests that mathematics developed there by inductive generalizations and conjectures that do not form any general theory. Nevertheless, in papyrus there is a whole range of evidence that the mathematics in ancient Egypt of those years had or at least began to acquire a theoretical character. Thus, Egyptian mathematicians were able to extract roots and raise a power, solve equations, were familiar with arithmetic and geometric progression, and even mastered the beginnings of algebra : when solving equations, the special hieroglyph “heap” meant the unknown.

In the field of geometry, the Egyptians knew the exact formulas for the area of a rectangle , a triangle, and a trapezium . The area of an arbitrary quadrilateral with sides a, b, c, d was calculated approximately as

{\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}

{\ displaystyle {\ frac {a + c} {2}} \ cdot {\ frac {b + d} {2}}}

This rough formula gives acceptable accuracy if the figure is close to a rectangle. The area of the circle was calculated based on the assumption

\pi =4\cdot \left({\frac {8}{9}}\right)^{2}

{\ displaystyle \ pi = 4 \ cdot \ left ({\ frac {8} {9}} \ right) ^ {2}}

= 3.1605 (error less than 1%) ^[10] .

The Egyptians knew the exact formulas for the volume of a parallelepiped and various cylindrical bodies, as well as a pyramid and a truncated pyramid. Suppose we have a regular truncated pyramid with the side of the lower base a , the upper b and the height h ; then the volume was calculated by the original, but the exact formula:

(a^{2}+ab+b^{2})\cdot {\frac {h}{3}}

{\ displaystyle (a ^ {2} + ab + b ^ {2}) \ cdot {\ frac {h} {3}}

.

There is no information about the earlier course of development of mathematics in Egypt. About later, up to the Hellenistic era , too. After the accession of the Ptolemies , an extremely fruitful synthesis of Egyptian and Greek cultures begins.

Babylon

Babylonian numbers

The Babylonians wrote cuneiform icons on clay tablets, which in considerable quantities have survived to our days (more than 500 thousand, of which about 400 are associated with mathematics). Therefore, we have a fairly complete picture of the mathematical achievements of the scientists of the Babylonian state . Note that the roots of the Babylonian culture were largely inherited from the Sumerians — the cuneiform writing, the counting technique, etc.

The Babylonian calculating technique was much more perfect than the Egyptian one , and the range of tasks being solved is much wider. There are tasks for solving equations of the second degree, geometric progression . At the decision proportions , average arithmetic, percent were applied. The methods of working with progressions were deeper than that of the Egyptians . Linear and quadratic equations were solved in the Hammurabi era; geometric terminology was used (the product ab was called the area, and abc was called the volume, etc.). Many of the icons for monomials were Sumerian, from which it can be concluded that these algorithms are ancient; These icons were used as the letter symbols of the unknowns in our algebra. There are also cubic equations and systems of linear equations . The crown of planimetry was the Pythagorean theorem , known even in the era of Hammurabi.

The Sumerians and Babylonians used the 60th positional number system , perpetuated in our division of the circle by 360 °, an hour by 60 minutes and a minute by 60 seconds. For multiplication used a cumbersome set of tables. To calculate the square roots, the Babylonians invented an iterative process: a new approximation was obtained from the previous one according to the formula of Newton's method :

a_{n+1}=(a_{n}+N/a_{n})/2

{\ displaystyle a_ {n + 1} = (a_ {n} + N / a_ {n}) / 2}

The geometry considered the same figures as in Egypt , plus a segment of a circle and a truncated cone . In the early documents believe $\pi =3$ ${\ displaystyle \ pi = 3}$ ; later, an approximation of 25/8 = 3.125 occurs. The Babylonians were able to calculate the area of regular polygons ; apparently, they were familiar with the principle of similarity. For the area of irregular quadrangles, the same approximate formula was used as in Egypt :

S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}

{\ displaystyle S = {\ frac {a + c} {2}} \ cdot {\ frac {b + d} {2}}}

.

Nevertheless, the rich theoretical basis of the mathematics of Babylon did not have a holistic character and was reduced to a set of disparate techniques, lacking an evidence base. A systematic evidence-based approach in mathematics appeared only among the Greeks .

China

Chinese (above) and Japanese accounts

Figures in ancient China were designated by special hieroglyphs , which appeared in the II millennium BC. e., and their style was finally established by the III century BC. er These hieroglyphs are used in the present. The Chinese way of writing numbers was originally multiplicative. For example, the record of the number 1946, using Roman numerals instead of hieroglyphs, can be represented as 1M9C4X6. However, in practice, calculations were performed on a counting board, where the recording of numbers was different - positional, as in India, and, unlike the Babylonians, decimal ^[11] .

Calculations were made on a special counting board suanpan (see the photo), according to the principle of using a similar Russian counting . At first, zero was designated as an empty place, a special hieroglyph appeared around the XII century AD. er To memorize the multiplication table there was a special song, which the students memorized.

The most informative mathematical work of ancient China - " Mathematics in nine books ."

The Chinese knew a lot, including: all basic arithmetic (including finding the greatest common divisor and least common multiple ), actions with fractions, proportions, negative numbers, areas and volumes of basic figures and bodies, Pythagorean theorem and Pythagorean triples selection algorithm, solution square equations . A fan-cheng method was even developed for solving systems of an arbitrary number of linear equations — an analogue of the classical European Gauss method . Equations of any degree were solved numerically - using the Tien-Yuan method, which resembles the Ruffini-Horner method for finding the roots of a polynomial.

Ancient Greece

Rafael Santi . Athens School

Mathematics in the modern sense of the word was born in Greece. In the contemporaries of Hellas, mathematics was used either for everyday needs (calculations, measurements), or, conversely, for magical rituals designed to find out the will of the gods ( astrology , numerology , etc.). There was no mathematical theory in the full sense of the word; the matter was limited to a set of rules of thumb, often inaccurate or even erroneous.

The Greeks approached the case from the other side.

Firstly, the Pythagorean school put forward the thesis “ Numbers rule the world ” ^{[C 2]} . Or, as the same idea was formulated two thousand years later: “ Nature speaks to us in the language of mathematics ” ( Galileo ). This meant that the truths of mathematics are in a certain sense the truths of real being.

Muse of Geometry ( Louvre )

Во-вторых, для открытия таких истин пифагорейцы разработали законченную методологию. Сначала они составили список первичных, интуитивно очевидных математических истин ( аксиомы , постулаты ). Затем с помощью логических рассуждений (правила которых также постепенно унифицировались) из этих истин выводились новые утверждения, которые также обязаны быть истинными. Так появилась дедуктивная математика.

Греки проверили справедливость этого тезиса во многих областях: астрономия , оптика , музыка , геометрия , позже — механика . Всюду были отмечены впечатляющие успехи: математическая модель обладала неоспоримой предсказательной силой.

Попытка пифагорейцев положить в основу мировой гармонии целые числа (и их отношения) была поставлена под сомнение после того, как были обнаружены иррациональные числа . Платоновская школа (IV век до н. э.) выбрала иной, геометрический фундамент математики ( Евдокс Книдский ). На этом пути были достигнуты величайшие успехи античной математики ( Евклид , Архимед , Аполлоний Пергский и другие).

Греческая математика впечатляет прежде всего богатством содержания. Многие учёные Нового времени отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних. Зачатки анализа заметны у Архимеда, корни алгебры — у Диофанта , аналитическая геометрия — у Аполлония и т. д. Но главное не в этом. Два достижения греческой математики далеко пережили своих творцов.

Первое — греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики (гарантирующих истинность выводов при условии, что истинны предпосылки).

Второе — они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели — ключ к их познанию.

В этих двух отношениях древнегреческая математика вполне родственна современной.

India

От этих индийских значков произошли современные цифры (начертание I века н. э.)

Индийская нумерация (способ записи чисел) изначально была изысканной. В санскрите были средства для именования чисел до $10^{50}$ $10^{50}$ . For numbers, the Syro-Phoenician system was first used, and from the 6th century BC er - writing " Brahmi ", with separate characters for numbers 1-9. Somewhat modified, these icons have become modern figures, which we call Arabic , and the Arabs themselves - Indian .

Aryabhata

Around 500 AD er The great Indian mathematician unknown to us invented a new system for writing numbers - the decimal positional system . In it, the execution of arithmetic operations turned out to be immeasurably easier than in the old ones, with clumsy letter codes, like in the Greeks , or in the sixties , as in the Babylonians . Subsequently, the Indians used counting boards adapted for positional recording. They developed complete algorithms for all arithmetic operations, including the extraction of square and cubic roots.

The works of Aryabhata , an outstanding Indian mathematician and astronomer, belong to the 5th – 6th centuries. In his work "Ariabkhatiam" there are many solutions to computational problems. In the VII century another famous Indian mathematician and astronomer, Brahmagupta , worked . Beginning with Brahmagupta, Indian mathematicians freely treat negative numbers, treating them as debt.

Medieval Indian mathematicians achieved the greatest success in the field of number theory and numerical methods . Indians are far advanced in algebra; their symbolism is richer than that of Diophantus , although somewhat cumbersome (littered with words). Geometry caused less interest among Indians. The proofs of the theorems consisted of a drawing and the word "see." Formulas for areas and volumes, as well as trigonometry, they most likely inherited from the Greeks.

Islamic countries

Page from al-Khorezmi book

The mathematics of the East, unlike the Greek , has always been more practical. Accordingly, the most important were computational and measurement aspects. The main fields of application of mathematics were trade , construction , geography , astronomy and astrology , mechanics , optics .

In the 9th century there lived al-Khorezmi - the son of a Zoroastrian priest, nicknamed for this al-Majusi (magician). After studying Indian and Greek knowledge, he wrote a book “On the Indian Account”, which contributed to the popularization of the positional system throughout the Caliphate, up to Spain. In the XII century, this book is translated into Latin, on behalf of its author is our word " algorithm " (for the first time in a close sense, used by Leibniz ). Another essay by al-Khorezmi, “ A brief book on the calculus of al-jabr and al-muqabala, ” had a great influence on European science and gave rise to another modern term “ algebra ”.

Islamic mathematicians have paid a lot of attention not only to algebra, but also geometry and trigonometry (mainly for astronomical applications). Nasir ad-Din al-Tusi ( XIII century ) and Al-Kashi ( XV century ) published outstanding works in these areas.

In general, it can be said that in a number of cases the mathematicians of the countries of Islam succeeded in raising the semi-empirical Indian developments to a high theoretical level and thereby expanding their power. Although this synthesis is in most cases limited. Many mathematicians masterly mastered classical methods, but little was obtained.

Western Europe

Middle Ages, IV — XV centuries.

In the V century, the end of the Western Roman Empire came, and the territory of Western Europe for a long time turned into a field of incessant battles with conquerors and robbers ( Huns , Goths , Hungarians , Arabs , Normans , etc.). The development of science has stopped. The need for mathematics is limited to arithmetic and calculation of the calendar of church holidays, and arithmetic is studied according to the ancient textbook of Nicomach Gerazsky in an abbreviated translation of Boethius into Latin.

Among the few highly educated people can be noted Irishman Bede the Honorable (he was engaged in the calendar, Paschal , chronology, theory of counting on fingers) and the monk Herbert, from 999 - the Pope under the name of Sylvester II , the patron of science; he is credited with authorship of several works on astronomy and mathematics. A popular collection of entertaining mathematical problems published by the Anglo-Saxon poet and scholar Alcuin (VIII century).

Stabilization and restoration of European culture begins with the XI century . The first universities appear ( Salerno , Bologna ). The teaching of mathematics is expanding: traditional quadrivium included arithmetic, geometry, astronomy, and music.

Latin translation of the "Beginnings" of Euclid (XIV century)

The first acquaintance of European scientists with ancient discoveries took place in Spain. In the 12th century, the main works of the great Greeks and their Islamic disciples were translated there (from Greek and Arabic into Latin). From the 14th century, Byzantium became the main place of scientific exchange. Especially Euclid's "Principles" were readily translated and published; gradually they were overgrown with comments by local geometers. The only relatively prominent mathematician in the entire post-ancient history of Byzantium was Maxim Planud , commentator for Diophantus and popularizer of the decimal system .

At the end of the 12th century, the University of Paris was established on the basis of several monastic schools, where thousands of students from all over Europe studied; Oxford and Cambridge appear in Britain at the same time. Interest in science is growing, and one of the manifestations of this is the change of the numerical system. For a long time, Roman numerals were used in Europe. In XII-XIII centuries, the first in Europe expositions of the decimal positional recording system were published (first, translations of al-Khorezmi , then their own manuals), and its application begins. From the 14th century, Indo-Arabic numerals began to supplant Roman even on gravestones. Only in astronomy, the sixties Babylonian arithmetic was used for a long time.

Page from the Book of Abacus

The first major mathematician of medieval Europe in the XIII century was Leonardo of Pisa, known under the nickname Fibonacci . His main work: The Book of Abacus ( 1202 , the second revised edition - 1228 ). Abacus Leonardo called arithmetic calculations. Fibonacci was well acquainted (in Arabic translations) with the achievements of the ancients and systematized a significant part of them in his book. His presentation in the fullness and depth immediately became higher than all the ancient and Islamic prototypes, and for a long time was unsurpassed. This book has had a huge impact on the spread of mathematical knowledge, the popularity of Indian numerals and the decimal system in Europe.

In the books of “Arithmetic” and “On the given numbers” of Jordan Nemorarii, the rudiments of symbolic algebra are seen, for the time being not separated from geometry ^[12] .

At the same time, Robert Grossetest and Roger Bacon call for the creation of an experimental science that can describe natural phenomena in mathematical language ^[13] .

In the XIV century, universities appear in almost all large countries ( Prague , Krakow , Vienna , Heidelberg , Leipzig , Basel , etc.).

Philosophers from Oxford Merton College, who lived in the XIV century and were part of the group of so-called Oxford calculators , developed a logical-mathematical doctrine on the strengthening and weakening of qualities. Another variant of the same teaching was developed at the Sorbonne by Nikolai Orem . He introduced the image of dependence with the help of graphics, investigated the convergence of the series . ^[14] In algebraic works he considered fractional exponents.

The prominent German mathematician and astronomer of the 15th century, Johann Muller, became widely known as Regiomontan , the Latinized name of his native city Königsberg ^{[C 3]} . He published the first work in Europe, specifically dedicated to trigonometry . In comparison with the Arabic sources, the new is a little bit, but it is necessary to especially note the systematic and complete presentation.

Luca Pacioli , the greatest algebraist of the 15th century, a friend of Leonardo da Vinci , gave a clear (though not very convenient) outline of algebraic symbolism.

XVI century

16th century mathematicians, medieval miniature

The 16th century was a turning point for European mathematics. Fully assimilating the achievements of predecessors, she with several powerful jerks broke far forward.

The first major achievement was the discovery of a general method for solving equations of the third and fourth degree. Italian mathematicians del Ferro , Tartaglia and Ferrari solved a problem that the best mathematicians of the world could not cope with for several centuries ^[15] . At the same time, it was found that the solution sometimes appeared “impossible” roots of negative numbers. After analyzing the situation, European mathematicians called these roots “ imaginary numbers ” and developed rules for dealing with them, leading to the correct result. So for the first time complex numbers were entered into mathematics.

The most important step to the new math was made by Frenchman Francois Viet . He finally formulated the symbolic meta language of arithmetic - the literal algebra ^[16] . With her appearance, the possibility of conducting research of unprecedented depth and generality opened up. In his book, Introduction to Analytical Art , Viet showed examples of the power of the new method, finding the famous Viet formulas . The symbolism of Vieta was not yet similar to the one accepted today; its modern version was later proposed by Descartes ^[17] .

John Napier

The third great discovery of the 16th century is the invention of logarithms ( John Napier ) ^[18] . Complicated calculations have been simplified many times, and mathematics has received a new non-classical function with a wide scope.

In 1585 the Flemish Simon Stevin published the book “ The Tenth ” on the rules of action with decimal fractions , after which the decimal system gained a final victory in the field of fractional numbers. Stevin also proclaimed full equality of rational and irrational numbers , as well as (with some reservations) and negative numbers ^[19] .

At the same time, the prestige of mathematics is growing, a multitude of practical problems emerge that need to be addressed - in artillery, navigation, construction, industry, hydraulics, astronomy, cartography, optics, etc. And, unlike antiquity, the Renaissance scientists did not shy away from such tasks. There were virtually no pure theoretical mathematicians. Appear first Academy of Sciences. In the 16th — 17th centuries, the role of university science declined, many nonprofessional scientists appeared: Stevin — military engineer; Viet and Farm — lawyers; Desargues and Ren — architects, Leibnitz — official, Napier, Descartes, Pascal — private individuals ^[20] .

XVII century

Geometric measurements (XVII century)

In the XVII century, the rapid development of mathematics continues, and by the end of the century the face of science is changing radically.

Rene Descartes in the treatise " Geometry " (1637) corrected the strategic error of the ancient mathematicians and restored the algebraic understanding of the number (instead of the geometric one) ^[21] . Moreover, he pointed out a method of translating geometric statements into an algebraic language (using a coordinate system ), after which the study becomes much simpler and more efficient. This is how analytic geometry was born. Descartes considered many examples illustrating the enormous power of the new method, and obtained quite a few results unknown to the ancients. Of particular note is the mathematical symbolism developed by him, which is close to modern.

The analytical method of Descartes was immediately adopted by Wallis , Fermat, and many other prominent mathematicians ^[22] .

Pierre Fermat, Huygens and Jacob Bernoulli created a new branch of mathematics, which was destined to a great future - the theory of probability . Jacob Bernoulli formulated the first version of the law of large numbers ^[23] .

Sir Isaac Newton

And, finally, a not very clear, but deep idea appeared - the analysis of arbitrary smooth curves using their decomposition into infinitely small segments of straight lines. The first implementation of this idea was largely an imperfect method of indivisible ( Kepler ^[24] , Cavalieri ^[25] , Fermat ^[26] ), and many new discoveries were already made with it. At the end of the seventeenth century, the idea of the indivisible was significantly expanded by Newton ^[27] and Leibniz ^[28] , and an exceptionally powerful research tool appeared - mathematical analysis . This mathematical direction became the main in the next, XVIII century .

The theory of negative numbers was still in its infancy. A bizarre proportion, for example, was discussed lively. $1:(-1)=(-1):1$ ${\ displaystyle 1: (- 1) = (- 1): 1}$ - in it, the first term on the left is greater than the second, and on the right - on the contrary, it turns out that the greater is less than the “ Arno paradox” ^[29] .

Complex numbers were considered fictitious, the rules of action with them were not finalized. Moreover, it was unclear whether all the “ imaginary numbers ” could be written as a + bi or, say, when extracting a certain root, imaginations that are not reducible to this form may appear (even Leibnitz thought so). Only in the 18th century, D'Alembert and Euler established that complex numbers are closed with respect to all operations, including the extraction of a root of any degree.

In the second half of the XVII century, scientific periodicals appeared, not yet specialized in the types of sciences. A start was made by London and Paris, but Acta Eruditorum ( 1682 , Leipzig , in Latin) played a particularly important role. The French Academy of Sciences has been publishing its notes ( Memoires ) since 1699. These journals were rarely published, and correspondence continued to remain an indispensable means of disseminating information.

XVIII century

The 18th century in mathematics can be briefly described as the age of analysis , which has become the main object of application of the efforts of mathematicians. Contributing to the rapid development of the natural sciences, the analysis, in turn, progressed itself, receiving more and more complex tasks from them. At the junction of this exchange of ideas, mathematical physics was born.

Criticism of the infinitesimal method for poor validity quickly ceased under the pressure of the triumphal successes of the new approach. In science, thanks to Newton , mechanics reigned - all other interactions were considered secondary, a consequence of mechanical processes. The development of analysis and mechanics occurred in close intertwining; the first to unite this was Euler , who removed archaic constructions from Newtonian mechanics and set up an analytical foundation for dynamics ( 1736 ). From this point on, mechanics became an applied section of analysis. The process was completed by Lagrange , whose “Analytical Mechanics” ^[30] demonstratively does not contain a single drawing. Simultaneously, the analysis was algebraized and finally (starting with Euler) separated from geometry and mechanics.

The main method of knowledge of nature is the compilation and solution of differential equations . After the dynamics of the point, it was the turn of the dynamics of the solid body, then the liquid and gas. The controversy about the string , in which the leading mathematicians of Europe participated, contributed a lot to the progress in this field.

The theory of Newton at first encountered difficulties in describing the motion of the Moon , but the work of Clauro , Euler and Laplace ^[31] clearly showed that there are no additional forces other than Newtonian in celestial mechanics .

The analysis extends to the complex area. The analytic continuation of most functions did not cause problems, and unexpected connections between standard functions ( Euler's formula ) were discovered ^[32] . The difficulties met for the complex logarithm , but Euler successfully overcame them. Conformal mappings were introduced, a hypothesis was put forward on the uniqueness of analytic continuation. Complex functions have even found application in applied sciences - hydrodynamics, oscillation theory (d'Alembert, Euler).

Joseph Louis Lagrange

The theory and technique of integration are far advanced. Multiple integrals (Euler, Lagrange) are widely used, and not only in Cartesian coordinates. Surface integrals also appear (Lagrange, Gauss ). The theory of differential equations, both ordinary and partial derivatives, is being intensively developed. Mathematicians exhibit exceptional ingenuity in solving partial differential equations, inventing their own solution methods for each problem. The concept of a boundary value problem was formed , the first methods of its solution appeared.

В конце XVIII века было положено начало общей теории потенциала (Лагранж, Лаплас, Лежандр). Для тяготения потенциал ввёл Лагранж ( 1773 , термин предложил Грин в 1828 году ). Вскоре Лаплас обнаружил связь потенциала с уравнением Лапласа и ввёл важный класс ортогональных сферических функций .

Возникают многообещающее вариационное исчисление и вариационные принципы физики (Эйлер, Лагранж).

Леонард Эйлер на советской почтовой марке (1957)

Лидером математиков XVIII века был Эйлер, чей исключительный талант наложил отпечаток на все основные математические достижения столетия ^[33] . Именно он сделал из анализа совершенный инструмент исследования. Эйлер существенно обогатил ассортимент функций , разработал технику интегрирования, далеко продвинул практически все области математики. Наряду с Мопертюи он сформулировал принцип наименьшего действия как высший и универсальный закон природы.

В теории чисел окончательно легализуются мнимые числа, хотя полная теория их ещё не создана. Доказана (ещё не вполне строго) основная теорема алгебры . Эйлер разработал теорию делимости целых чисел и теорию сравнений (вычетов), завершённую Гауссом. Эйлер ввёл понятие первообразного корня , доказал его существование для любого простого числа и нашёл количество первообразных корней, открыл квадратичный закон взаимности . Он и Лагранж опубликовали общую теорию цепных дробей , и с их помощью решили немало задач диофантова анализа. Эйлер также обнаружил, что в ряде задач теории чисел можно применить аналитические методы .

Подсчёт определителя по Крамеру

Стремительно развивается линейная алгебра . Первое подробное описание общего решения линейных систем дал в 1750 году Габриэль Крамер . Близкую к современной символику и глубокий анализ определителей дал Александр Теофил Вандермонд (1735—1796). Лаплас в 1772 году дал разложение определителя по минорам . Теория определителей быстро нашла множество приложений в астрономии и механике (вековое уравнение), при решении алгебраических систем, исследовании форм и т. д.

В алгебре назревают новые идеи, завершившиеся уже в XIX веке теорией Галуа и абстрактными структурами. Лагранж при исследовании уравнений пятой степени и выше вплотную подходит к теории Галуа ( 1770 ), выяснив, что «истинная метафизика уравнений — теория подстановок ».

В геометрии появляются новые разделы: дифференциальная геометрия кривых и поверхностей, начертательная геометрия ( Монж ), проективная геометрия ( Лазар Карно ).

Нормальное и биномиальное распределения

Теория вероятностей перестаёт быть экзотикой и доказывает свою полезность в самых неожиданных областях человеческой деятельности. Де Муавр и Даниил Бернулли открывают нормальное распределение . Возникают вероятностная теория ошибок и научная статистика. Классический этап развития теории вероятностей завершили работы Лапласа ^[34] . Однако приложения её к физике тогда ещё почти отсутствовали (не считая теории ошибок).

Центрами математических исследований становятся Академии наук, по большей части государственные. Значение университетов невелико (исключая страны, где академий ещё нет), физико-математические факультеты всё ещё отсутствуют. Ведущую роль играет Парижская академия . Английская школа после Ньютона обособляется и на целый век снижает научный уровень; число видных математиков в Англии XVIII века невелико — де Муавр (французский эмигрант-гугенот), Котс , Тейлор , Маклорен , Стирлинг .

Математики становятся профессионалами, любители почти исчезают со сцены.

В конце XVIII века появляются специализированные математические журналы, увеличивается интерес к истории науки. Выходит двухтомная «История математики» Монтюкла (посмертно переизданная и дополненная до 4 томов). Расширяется издание научно-популярной литературы.

XIX век

Неоспоримая эффективность применения математики в естествознании подталкивала учёных к мысли, что математика, так сказать, встроена в мироздание, является его идеальной основой. Другими словами, познание в математике есть часть познания реального мира. Многие учёные XVII—XVIII веков в этом и не сомневались. Но в XIX веке эволюционное развитие математики было нарушено, и этот, казавшийся непоколебимым, тезис был поставлен под сомнение.

Неевклидовы геометрии

В геометрии, алгебре, анализе появляются многочисленные нестандартные структуры с необычными свойствами: неевклидовы и многомерные геометрии, кватернионы , конечные поля , некоммутативные группы и т. п.
Объектами математического исследования всё больше становятся нечисловые объекты: события , предикаты , множества , абстрактные структуры, векторы , тензоры , матрицы , функции , многолинейные формы и т. д.
Возникает и получает широкое развитие математическая логика , в связи с чем появилось искушение связать именно с ней коренные основания математики.
Георг Кантор вводит в математику предельно абстрактную теорию множеств , а заодно понятие актуальной бесконечности произвольного масштаба. В конце века при попытке обосновать фундамент математики на основе теории множеств были обнаружены противоречия, которые заставили задуматься над непростыми вопросами: что означает «существование» и «истинность» в математике?

В целом в XIX веке роль и престиж математики в науке и экономике заметно растут, соответственно растёт и её государственная поддержка. Математика вновь становится по преимуществу университетской наукой. Появляются первые математические общества: Лондонское , Американское , Французское , Московское , а также общества в Палермо и Эдинбурге .

Рассмотрим вкратце развитие основных областей математики в XIX веке.

Geometry

Если XVIII век был веком анализа, то XIX век по преимуществу стал веком геометрии ^[35] . Быстро развиваются созданные в конце XVIII века начертательная геометрия ( Монж ^[36] , Ламберт ) и возрождённая проективная геометрия (Монж, Понселе , Лазар Карно ). Появляются новые разделы: векторное исчисление и векторный анализ , геометрия Лобачевского , многомерная риманова геометрия , теория групп преобразований . Происходит интенсивная алгебраизация геометрии — в неё проникают методы теории групп , возникает алгебраическая геометрия . В конце века создана «качественная геометрия» — топология .

Соприкасающаяся плоскость для кривой и три вектора Френе

Дифференциальная геометрия получила мощный толчок после выхода чрезвычайно содержательного труда Гаусса «Общие исследования о кривых поверхностях» ( 1822 ) ^[37] , где впервые были явно определены метрика ( первая квадратичная форма ) и связанная с ней внутренняя геометрия поверхности. Исследования продолжила парижская школа. В 1847 году Френе и Серре опубликовали известные формулы Френе для дифференциальных атрибутов кривой ^[38] .

Крупнейшим достижением стало введение понятия вектора и векторного поля . Первоначально векторы ввёл У. Гамильтон в связи со своими кватернионами (как их трёхмерную мнимую часть). У Гамильтона уже появилось скалярное и векторное произведение . Сверх того, Гамильтон ввёл дифференциальный оператор $\nabla$ ${\ displaystyle \ nabla}$ (« набла ») и многие другие понятия векторного анализа, в том числе определение вектор-функции и тензорного произведения .

Компактность и инвариантность векторной символики, использованной в первых трудах Максвелла , заинтересовали физиков; вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд ( 1903 ) придал векторному исчислению современный вид.

Жан-Виктор Понселе

Проективная геометрия после полутора веков забвения вновь привлекла внимание — сначала Монжа, затем его учеников — Понселе и Лазара Карно. Карно сформулировал «принцип непрерывности», который позволяет сразу распространить некоторые свойства исходной фигуры на фигуры, полученные из неё непрерывным преобразованием (1801—1806). Несколько позднее Понселе ясно определил проективную геометрию как науку о проективных свойствах фигур и дал систематическое изложение её содержания ( 1815 ). У Понселе уже полностью легализованы бесконечно удалённые точки (даже мнимые). Он сформулировал принцип двойственности (прямых и точек на плоскости).

С конца 1820-х годов формируется школа проективных геометров в Германии ( Мёбиус , Плюккер , Гессе , Штейнер и другие). В Англии ряд работ опубликовал Кэли . При этом стали использоваться и аналитические методы, особенно после открытия Мёбиусом однородных проективных координат , включающих и бесконечно удалённую точку. Во Франции работы Понселе продолжил Мишель Шаль .

Большое влияние на развитие математики имела знаменитая речь Римана ( 1854 ) «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» ^[39] . Риман определил общее понятие n-мерного многообразия и его метрику в виде произвольной положительно определённой квадратичной формы . Далее Риман обобщил теорию поверхностей Гаусса на многомерный случай; при этом появляются знаменитый риманов тензор кривизны и другие понятия римановой геометрии. Существование неевклидовой метрики, по Риману, может объясняться либо дискретностью пространства, либо некими физическими силами связи. В конце века Г. Риччи завершает классический тензорный анализ .

Nikolai Ivanovich Lobachevsky

Во второй половине XIX века наконец привлекает общее внимание геометрия Лобачевского. Тот факт, что даже у классической геометрии существует альтернатива, произвёл огромное впечатление на весь научный мир. Он также стимулировал переоценку многих устоявшихся стереотипов в математике и физике.

Ещё один переломный момент развития геометрии наступил в 1872 году , когда Феликс Клейн выступил со своей « Эрлангенской программой ». Он классифицировал геометрические науки по используемой группе преобразований — вращения, аффинные, проективные, общие непрерывные и т. п. Каждый раздел геометрии изучает инварианты соответствующей группы преобразований. Клейн рассмотрел также важнейшее понятие изоморфизма (структурного тождества), который называл «перенесением». Тем самым был намечен новый этап алгебраизации геометрии, второй после Декарта .

В 1872—1875 годах Камилл Жордан опубликовал ряд работ по аналитической геометрии n-мерного пространства (кривых и поверхностей), а в конце века он предложил общую теорию меры .

Гомеоморфизм топологии кружки и тора (анимация)

В самом конце века рождается топология , сначала под названием analysis situs . Топологические методы фактически в ряде работ использовали Эйлер, Гаусс, Риман, Жордан и др. Вполне ясно предмет новой науки описывает Феликс Клейн в своей «Эрлангенской программе». Окончательно комбинаторная топология оформилась в работах Пуанкаре (1895—1902).

Математический анализ

Анализ в XIX веке развивался путём быстрой, но мирной эволюции.

Пример Вейерштрасса: всюду непрерывная, но нигде не дифференцируемая функция

Наиболее существенной переменой стало создание фундамента анализа ( Коши , затем Вейерштрасс ). Благодаря Коши ^[40] мистическое понятие актуального бесконечно малого исчезло из математики (хотя в физике оно используется до сих пор). Были поставлены вне науки и сомнительные действия с расходящимися рядами. Коши построил фундамент анализа на основе теории пределов, близкой к ньютоновскому пониманию, и его подход стал общепринятым; анализ стал менее алгебраичным, но более надёжным. Тем не менее до уточнений Вейерштрасса многие предрассудки ещё сохранялись: например, Коши верил, что непрерывная функция всегда дифференцируема, а сумма ряда из непрерывных функций непрерывна.

Широчайшее развитие получила теория аналитических функций комплексного переменного, над которой работали Лаплас , Коши, Абель , Лиувилль , Якоби , Вейерштрасс и другие. Значительно расширился сам класс специальных функций, особенно комплексных. Главные усилия были направлены на теорию абелевых функций, которые не вполне оправдали возлагавшиеся на них надежды, но тем не менее способствовали обогащению аналитического инструментария и созданию в XX веке более общих теорий.

Многочисленные прикладные задачи деятельно стимулировали теорию дифференциальных уравнений , выросшую в обширную и плодотворную математическую дисциплину. Детально исследованы основные уравнения математической физики , доказаны теоремы существования решения, создана качественная теория дифференциальных уравнений ( Пуанкаре ).

К концу века происходит некоторая геометризация анализа — появляются векторный анализ , тензорный анализ , исследуется бесконечномерное функциональное пространства (см. Банахово пространство , Гильбертово пространство ). Компактная инвариантная запись дифференциальных уравнений гораздо удобнее и нагляднее, чем громоздкая координатная запись.

Алгебра и теория чисел

Намеченные у Эйлера аналитические методы помогли решить немало трудных проблем теории чисел ( Гаусс ^[41] , Дирихле и другие). Гаусс дал первое безупречное доказательство основной теоремы алгебры . Жозеф Лиувилль доказал существование бесконечного количества трансцендентных чисел ( 1844 , подробнее в 1851 ), дал достаточный признак трансцендентности и построил примеры таких чисел в виде суммы ряда. В 1873 году Шарль Эрмит публикует доказательство трансцендентности числа Эйлера e , а в 1882 году Линдеман применил аналогичный метод и к числу $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ .

Памятная табличка на мосту Брум Бридж в Дублине : «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, сэр Уильям Роуэн Гамильтон открыл кватернионы »

У. Гамильтон открыл удивительный некоммутативный мир кватернионов .

Возникла геометрическая теория чисел ( Минковский ) ^[42] .

Эварист Галуа , опередивший своё время, представляет глубокий анализ решения уравнений произвольных степеней ^[43] . Ключевыми понятиями исследования оказываются алгебраические свойства связанных с уравнением группы подстановок и полей расширения . Галуа завершил работы Абеля , доказавшего, что уравнения степени выше 4-й неразрешимы в радикалах .

Артур Кэли

По мере усвоения идей Галуа, со второй половины века, быстро развивается общая алгебра . Жозеф Лиувилль публикует и комментирует работы Галуа. В 1850-е годы Кэли вводит понятие абстрактной группы . Термин «группа» становится общепринятым и проникает практически во все области математики, а в XX веке — в физику и кристаллографию.

Формируется понятие линейного пространства ( Грассман и Кэли, 1843 — 1844 ). В 1858 году Кэли публикует общую теорию матриц , определяет операции над ними, вводит понятие характеристического многочлена . К 1870 году доказаны все базовые теоремы линейной алгебры , включая приведение к жордановой нормальной форме .

В 1871 году Дедекинд вводит понятия кольца , модуля и идеала . Он и Кронекер создают общую теорию делимости .

В конце XIX века в математику входят группы Ли .

Теория вероятностей

Карл Пирсон

На первое место выходят теория ошибок, статистика и физические приложения. Этим занимались Гаусс , Пуассон , Коши . Была выявлена важность нормального распределения как предельного во многих реальных ситуациях.

Во всех развитых странах возникают статистические департаменты/общества. Благодаря работам Карла Пирсона возникает математическая статистика с проверкой гипотез и оценкой параметров.

Всё же математические основы теории вероятностей в XIX веке ещё не были созданы, и Гильберт в начале XX века отнёс эту дисциплину к прикладной физике ^[44] .

Математическая логика

После неудачи проекта «Универсальной характеристики» Лейбница прошло полтора века, прежде чем попытка создать алгебру логики повторилась. Но повторилась она на новой основе: концепция множества истинности позволила построить математическую логику как теорию классов, с теоретико-множественными операциями. Пионерами стали британские математики Август (Огастес) де Морган и Джордж Буль .

Законы де Моргана в символике их автора

В работе «Формальная логика» ( 1847 ) де Морган описал понятие универсума и символы для логических операторов, записал известные « законы де Моргана ». Позже он ввёл общее понятие математического отношения и операций над отношениями.

Джордж Буль независимо разработал свой, более удачный, вариант теории. В своих работах 1847— 1854 годов он заложил основы современной математической логики и описал алгебру логики ( булеву алгебру ). Появились первые логические уравнения, введено понятие конституэнты (разложения логической формулы).

Уильям Стенли Джевонс продолжил систему Буля и даже построил «логическую машину», способную решать логические задачи ^[45] . В 1877 году Эрнест Шрёдер сформулировал логический принцип двойственности. Далее Готлоб Фреге построил исчисление высказываний . Чарльз Пирс в конце XIX века изложил общую теорию отношений и пропозициональных функций , а также ввёл кванторы . Современный вариант символики предложил Пеано . После этого всё было готово для разработки в школе Гильберта теории доказательств .

Обоснование математики

К началу XIX века относительно строгое логическое (дедуктивное) обоснование имела только евклидова геометрия, хотя строгость её уже тогда справедливо считалась недостаточной. Свойства новых объектов (например, комплексных чисел , бесконечно малых и т. д.) попросту считались в целом такими же, как у объектов уже известных; если же такая экстраполяция была невозможна, свойства подбирались опытным путём.

Огюстен Луи Коши

Построение фундамента математики началось с анализа. В 1821 году Коши опубликовал «Алгебраический анализ», где чётко определил основные понятия на основе концепции предела. Всё же он сделал ряд ошибок, например, почленно интегрировал и дифференцировал ряды, не доказывая допустимость таких операций. Завершил фундамент анализа Вейерштрасс , который выяснил роль важного понятия равномерной непрерывности . Одновременно Вейерштрасс (1860-е годы) и Дедекинд (1870-е) дали обоснование теории вещественных чисел .

1837 год : Уильям Гамильтон строит модель комплексных чисел как пар вещественных.

В 1870-е годы были легализованы неевклидовы геометрии . Их модели на базе евклидового пространства доказали, что они так же непротиворечивы, как и геометрия Евклида.

1879 год : Фреге публикует систему аксиом математической логики .

1888 год : Дедекинд предлагает набросок системы аксиом для натуральных чисел. Годом позже законченную систему аксиом предложил Пеано .

1899 год : выходят в свет «Основания геометрии» Гильберта .

В итоге к концу века почти вся математика была построена на базе строгой аксиоматики. Непротиворечивость основных разделов математики (кроме арифметики) была строго доказана (точнее говоря, сведена к непротиворечивости арифметики). Аксиоматический фундамент для теории вероятностей и теории множеств появился позже, в XX веке.

Теория множеств и антиномии

Георг Кантор

В 1873 году Георг Кантор ввёл понятие произвольного числового множества, а затем и общее понятие множества — самого абстрактного понятия в математике. С помощью взаимно-однозначных отображений он ввёл понятие равномощности множеств, потом определил сравнение мощностей на больше-меньше и, наконец, классифицировал множества по величине их мощности: конечные, счётные , континуальные и т. д.

Иерархию мощностей Кантор рассматривал как продолжение иерархии (порядка) целых чисел ( трансфинитные числа ). Тем самым в математику была введена актуальная бесконечность — понятие, которого прежние математики старательно избегали.

На первых порах теория множеств встретила у многих математиков доброжелательный приём. Она помогла обобщить жордановскую теорию меры , успешно использовалась в теории интеграла Лебега и многими рассматривалась как основа будущей аксиоматики всей математики. Однако последующие события показали, что привычная логика не годится при исследовании бесконечности, а интуиция не всегда помогает сделать правильный выбор.

Первое противоречие обнаружилось при рассмотрении самого большого множества — множества всех множеств ( 1895 ). Его пришлось исключить из математики как недопустимое. Однако появились и другие противоречия (антиномии).

Анри Пуанкаре

Анри Пуанкаре , который вначале принял теорию множеств и даже использовал в своих исследованиях, позже решительно отверг её и назвал «тяжёлой болезнью математики». Однако другая группа математиков, включая Бертрана Рассела , Гильберта и Адамара , выступили в защиту «канторизма» ^[46] .

Положение усугубило открытие « аксиомы выбора » ( 1904 , Цермело ), которая, оказывается, неосознанно применялась во многих математических доказательствах (например, в теории вещественных чисел). Эта аксиома объявляет существующим множество, о составе которого ничего не известно, и это обстоятельство ряд математиков посчитал совершенно неприемлемым, тем более что некоторые следствия аксиомы выбора противоречили интуиции ( парадокс Банаха — Тарского и др.).

В начале XX века удалось согласовать вариант теории множеств, свободный от обнаруженных ранее противоречий ( теория классов ), так что большинство математиков приняли теорию множеств. Однако былого единства математики больше нет, часть научных школ стали развивать альтернативные взгляды на обоснование математики ^[47] .

Russia


Титульный и первый листы «Арифметики» Магницкого

В 1136 году новгородский монах Кирик написал математико-астрономическое сочинение с подробным расчётом даты сотворения мира. Полное наименование его сочинения таково: «Кирика диакона и доместика Новгородскаго Антониева монастыря учение им-же ведати человеку числа всех лет» ^[48] . Помимо хронологических расчётов, Кирик привёл пример геометрической прогрессии , возникающей от деления суток на всё более мелкие доли; на одной миллионной Кирик остановился, заявив, что «более сего не бывает» ^[2] .

В 1701 году императорским указом была учреждена в Сухаревой башне математически-навигацкая школа , где преподавал Л. Ф. Магницкий . По поручению Петра I он написал (на церковно-славянском) известный учебник арифметики ( 1703 ), а позже издавал навигационные и логарифмические таблицы. Учебник Магницкого для того времени был исключительно добротным и содержательным. Автор тщательно отобрал всё лучшее, что было в существовавших тогда учебниках, и изложил материал ясно, с многочисленными примерами и пояснениями.

Мощным толчком к развитию российской науки послужили реформы М. М. Сперанского . В начале XIX века было создано Министерство народного просвещения , возникли учебные округа, и гимназии стали открываться во всех крупных городах России. При этом содержание курса математики было довольно обширным — алгебра, тригонометрия, приложения к физике и др.

В XIX веке молодая российская математика уже выдвинула учёных мирового уровня.

Первым из них стал Михаил Васильевич Остроградский . Как и большинство российских математиков до него, он разрабатывал преимущественно прикладные задачи анализа . В его работах исследуется распространение тепла, волновое уравнение , теория упругости , электромагнетизм . Занимался также теорией чисел . Академик пяти мировых академий. Важные прикладные работы выполнил Виктор Яковлевич Буняковский — чрезвычайно разносторонний математик, изобретатель, признанный авторитет по теории чисел и теории вероятностей , автор фундаментального труда «Основания математической теории вероятностей».

Пафнутий Львович Чебышёв

Фундаментальными вопросами математики в России первой половины XIX века занялся только Николай Иванович Лобачевский , который выступил против догмата евклидовости пространства. Он построил геометрию Лобачевского и глубоко исследовал её необычные свойства. Лобачевский настолько опередил своё время, что был оценён по заслугам только спустя много лет после смерти.

Несколько важных открытий общего характера сделала Софья Ковалевская . Она стала первой в мире и в истории женщиной – профессором математики. В 1874 г. в Гёттингенском университете она защитила диссертацию «К теории дифференциальных уравнений» и получила степень доктора философии. В 1881 г. её избрали в члены Московского математического общества в должности приват-доцента. В 1889 г. Софья Ковалевская получила большую премию Парижской академии за исследование о вращении тяжёлого несимметричного волчка ^[49] .

Во второй половине XIX века российская математика, при общем прикладном уклоне, публикует и немало фундаментальных результатов. Пафнутий Львович Чебышёв , математик-универсал, сделал множество открытий в самых разных, далёких друг от друга, областях математики — теории чисел, теории вероятностей, теории приближения функций. Андрей Андреевич Марков известен первоклассными работами по теории вероятностей, однако получил выдающиеся результаты и в других областях — теории чисел и математическом анализе. К концу XIX века формируются две активные отечественные математические школы — московская и петербургская.

XX век: основные достижения

Престиж профессии математика стал в XX столетии заметно выше. Математика развивалась экспоненциально, и невозможно сколько-нибудь полно перечислить сделанные открытия, но некоторые наиболее серьёзные достижения упомянуты ниже.

New Directions

Давид Гильберт

В 1900 году Давид Гильберт на Международном конгрессе математиков представил список из 23 нерешённых математических проблем . Эти проблемы охватили множество областей математики и сформировали центр приложения усилий математиков XX столетия. Сегодня десять проблем из списка решены, семь частично решены, и две проблемы всё ещё открыты. Оставшиеся четыре сформулированы слишком обобщённо, чтобы имело смысл говорить об их решении.

Особенное развитие в XX веке получили новые области математики; кроме компьютерных потребностей, это во многом связано с запросами теории управления , квантовой физики и других прикладных дисциплин.

Топология .
Функциональный анализ .
Различные разделы дискретной математики , в том числе теория игр , теория графов , теория кодирования .
Информатика и кибернетика , теория информации , теория алгоритмов .
Теория групп Ли .
Теория компьютерного моделирования .
Теория оптимизации , в том числе глобальной.
Теория случайных процессов .
Методы математической статистики .

Бурно развивались и многие «старые» области математики.

Алгебраическая геометрия
Комплексный анализ , особенно для функций многих переменных
Математическая физика
Общая алгебра
Риманова геометрия
Теория вероятностей

Среди наиболее выдающихся математиков XX века можно назвать (помимо отдельно упомянутых в данном разделе) такие имена:

Жак Адамар — теория чисел .
Павел Сергеевич Александров — топология .
Стефан Банах — функциональный анализ , теория множеств .
Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр — анализ , топология, теория множеств, философия математики .
Герман Вейль — алгебра, анализ, теория чисел, математическая логика , математическая физика и др.
Норберт Винер — создатель кибернетики .
Израиль Моисеевич Гельфанд — функциональный анализ, топология, алгебра , группы Ли , математическая физика и др.
Александр Гротендик — алгебраическая геометрия .
Жан Дьёдонне — функциональный анализ, группы Ли, топология, алгебраическая геометрия.
Анри Картан — анализ, топология.
Джон фон Нейман — математическая логика и теория компьютеров, математическая физика, теория множеств, информатика , экономика , теория игр и др.
Альфред Тарский — математическая логика.
Альфред Норт Уайтхед — математическая логика.
Феликс Хаусдорф — топология, теория множеств, функциональный анализ, теория чисел.
Александр Яковлевич Хинчин — теория вероятностей .
Алонзо Чёрч — информатика, математическая логика.
Клод Элвуд Шеннон — информатика, кибернетика.
Эрнст Цермело — математическая логика, теория множеств.

Математическая логика и основания математики

В 1931 году Курт Гёдель опубликовал две свои теоремы о неполноте , которые установили ограниченность математической логики . Это положило конец замыслу Давида Гильберта создать полную и непротиворечивую систему оснований математики. Несколько ранее в исследованиях Лёвенгейма и Скулема 1915—1920 годов ( теорема Лёвенгейма — Скулема ) обнаружен ещё один обескураживающий факт: никакая аксиоматическая система не может быть категорична . Другими словами, как бы тщательно ни формулировалась система аксиом, всегда найдётся интерпретация, совершенно не похожая на ту, ради которой эта система проектировалась. Это обстоятельство также подрывает веру в универсальность аксиоматического подхода.

Тем не менее формальная аксиоматика признана необходимой для того, чтобы прояснить фундаментальные принципы, на которые опираются разделы математики. Кроме того, аксиоматизация помогает выявлению неочевидных связей между разными частями математики и тем самым способствует их унификации ^[50] .

Капитальные результаты получены в теории алгоритмов . Было доказано, что теорема может быть правильной, но алгоритмически неподдающейся (точнее, нет разрешающей процедуры, Чёрч , 1936 ).

В 1933 году Андрей Колмогоров завершил (общепризнанную теперь) аксиоматику теории вероятностей .

В 1963 году Пол Коэн доказал, что континуум-гипотеза Кантора недоказуема (в обычной аксиоматике теории множеств ).

Алгебра и теория чисел

В начале века Эмми Нётер и Ван дер Варден завершили построение основ общей алгебры , структуры которой ( группы , поля , кольца , линейные пространства и др.) пронизывают теперь всю математику. Вскоре теория групп с большим успехом проникла в физику и кристаллографию . Другим важным открытием начала века стало создание и развитие плодотворной теории p-адических чисел .

Сриниваса Айенгор Рамануджан

В 1910-х годах Рамануджан сформулировал более чем 3000 теорем, включая свойства функции разбиения числа и её асимптотических оценок . Он также получил важные результаты в области исследования гамма-функции , модулярных форм , расходящихся рядов , гипергеометрических рядов и теории простых чисел .

Эндрю Уайлс доказал последнюю теорему Ферма в 1995 году , закрыв многовековую проблему.

Математический анализ и математическая физика

В начале XX века Лебег и Борель обобщили жорданову теорию меры; на её основе был построен интеграл Лебега . В школе Гильберта появился функциональный анализ , вскоре нашедший непосредственное применение в квантовой физике .

Абрахам Робинсон

В 1960-х годах Абрахам Робинсон опубликовал изложение нестандартного анализа — альтернативного подхода к обоснованию математического анализа на основе актуальных бесконечно малых .

Интенсивно развивается теория многомерных многообразий , стимулируемая потребностями физики ( ОТО , теория струн и др.).

Геометрия и топология

Общая топология стремительно развивается и находит применение в самых различных областях математики. Массовый интерес вызвали фракталы , открытые Бенуа Мандельбротом ( 1975 ).

Герман Минковский в 1907 году разработал геометрическую модель кинематики специальной теории относительности , позднее послужившую основой для Общей теории относительности (ОТО). Обе эти теории послужили стимулом для быстрого развития многомерной дифференциальной геометрии произвольных гладких многообразий — в частности, римановых и псевдоримановых .

Дискретная и компьютерная математика

Во второй половине XX века, в связи с появлением компьютеров, произошла существенная переориентация математических усилий. Значительно выросла роль таких разделов, как численные методы , теория оптимизации , общение с очень большими базами данных , имитация искусственного интеллекта , кодирование звуковых и видеоданных и т. п. Возникли новые науки — кибернетика , информатика , распознавание образов , теоретическое программирование, теория автоматического перевода, компьютерное моделирование, компактное кодирование аудио- и видеоинформации и др.

Ряд старых проблем получили решение при использовании компьютерных доказательств ^[51] . Вольфганг Хакен и Кеннет Апель с помощью компьютера решили проблему четырёх красок ( 1976 ).

Notes

Comments

↑ «Согласно большинству мнений, геометрия была впервые открыта в Египте, и возникла при измерении площадей» // Proclus Diadochus. In primum Euclidis Elementorum commentarii. — Leipzig, 1873. — С. 64.
↑ «…так называемые пифагорейцы, занявшись математикой, первые развили её и, овладев ею, стали считать её начала началами всего существующего… им казалось, что всё остальное по своей природе явно уподобляемо числам, и что числа — первое во всей природе, то они предположили, что элементы чисел суть элементы всего существующего и что всё небо есть гармония и число» // Аристотель. Метафизика, глава пятая. — М.—Л., 1934. — С. 26—27.
↑ Имеется в виду не нынешний Калининград, а Кёнигсберг в Баварии .

Sources

↑ Клайн М. Математика. Утрата определённости, 1984 , с. 44—47.
↑ Молодший В. Н. Очерки по вопросам обоснования математики. — М. : Учпедгиз, 1958. — С. 7.
↑ Wigner EP The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1960. — № 13 . — С. 1—14 . См. русский перевод в книге Этюды о симметрии . — М. : Мир, 1971. или в УФН за март 1968 .
↑ Клайн М. Математика. Утрата определённости, 1984 , с. 323—407.
↑ Фролов Б. А. Числа в графике палеолита. — Новосибирск: Наука, 1974. — 240 с.
↑ ¹ ² История математики, 1970—1972 , Том I, с. 12-13.
↑ Мах Э. Познание и заблуждение // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. — М. : Мир, 1979. — С. 74 (подстрочное примечание). - 592 s. : «прежде чем возникнет понятие о числе, должен существовать опыт, что в известном смысле равноценные объекты существуют множественно и неизменно ».
↑ История математики, 1970—1972 , Том I, с. 14.
↑ История математики, 1970—1972 , Том I, с. 21-33.
↑ История математики, 1970—1972 , Том I, с. 30-32.
↑ История математики, 1970—1972 , Том I, с. 158.
↑ Неморарий. О данных числах / Пер. and approx. С. Н. Шрейдера. Ed. И. Н. Веселовского // Историко-математические исследования. — 1959. — Т. XII . — С. 559—678 .
↑ Зубов В. П. Из истории средневековой атомистики // Труды Института истории естествознания. — 1947. — Т. I . — С. 293 .
↑ Орем Н. Трактат о конфигурации качеств // Историко-математические исследования / Пер. В. П. Зубова . — М. , 1958. — Вып. 11 — С. 601—732 .
↑ Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках . — М. : Наука, 1982. — (Библ. «Квант», вып. 14).
↑ Fr. Viete . Introduction a l'art analytique. Bollettino di bibliografia e storia delle scienze matematiche e phisiche, v. I, 1868.
↑ Декарт Р. Геометрия // Рассуждение о методе, с приложениями / Пер., статьи и комментарии Г. Г. Слюсарева и А. П. Юшкевича. М.— Л.: Изд. Академии наук СССР, 1953.
↑ Кэджори Ф. История элементарной математики. Прибавление 12 / Пер. И. Ю. Тимченко. - 2nd ed., Corr. — Одесса: Mathesis, 1917.
↑ История математики, 1970—1972 , Том I, с. 304-305.
↑ История математики, 1970—1972 , Том II, с. 21.
↑ Юшкевич А. П. Декарт и математика. // Р. Декарт. Geometry. М.— Л.: 1938. С. 255—294.
↑ Декарт Р. Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта / Пер., примечания и статья А. П. Юшкевича. М.— Л.: 1938.
↑ Бернулли Я. О законе больших чисел / Пер. Я. В. Успенского. Предисловие А. А. Маркова. М.: Наука, 1986.
↑ И. Кеплер. Новая стереометрия винных бочек / Пер. и предисловие Г. Н. Свешникова. Вступительная статья М. Я. Выгодского. М.— Л.: ГТТИ, 1935. С. 109.
↑ Кавальери Б. Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного, с приложением «Опыта IV» о применении неделимых к алгебраическим степеням / Пер., вступительная статья и комментарии С. Я. Лурье. М.— Л.: 1940.
↑ Ферма П. Введение в изучение плоских и пространственных мест. О максимуме и минимуме. Выдержки из переписки с Декартом // Р. Декарт. Geometry. М.—Л.: 1938. С. 137—196.
↑ И. Ньютон. Математические работы / Пер., статьи и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского. М.—Л.: 1937.
↑ Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений / Составил и перевёл А. П. Юшкевич. — Успехи матем. наук, 1948. Т. III. В. I (23). С. 165—204.
↑ Антуан Арно . Новые начала геометрии ( фр. Nouveaux elements de geometrie ), Париж, 1667.
↑ Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. I, II / Пер. В. С. Гохмана, под ред. Л. Г. Лойцянского и А. И. Лурье. М.—Л.: 1950.
↑ Лаплас П. С. Изложение системы мира. — Л.: Наука, 1982. 376 с.
↑ Л. Эйлер. Введение в анализ бесконечных. Т. I / Пер. Е. Л. Пацановского, статья А. Шпайзера, ред. И. Б. Погребысского. С. 109.
↑ Котек В. В. Леонард Эйлер. М.: Учпедгиз, 1961
↑ Лаплас П. Опыт философии теории вероятностей / Пер. AIB; ed. А. К. Власова. М.: 1908.
↑ Панов В. Ф. Математика древняя и юная. - Ed. 2-е, исправленное. — М. : МГТУ им. Баумана , 2006. — С. 477. — 648 с. — ISBN 5-7038-2890-2 .
↑ Г. Монж. Начертательная геометрия / Пер. В. Ф. Газе, под редакцией Д. И. Каргипа. М.: 1947.
↑ Гаусс К. Ф. Общие исследования о кривых поверхностях // Основания геометрии. М.: ГИТТЛ, 1956.
↑ Стройк Д. Очерк истории дифференциальной геометрии. M .; Л.: Гостехиздат, 1941.
↑ Риман Б. Сочинения М.—Л.: ОГИЗ. ГИТТЛ, 1948.
↑ О. Л. Коши. Алгебраический анализ / Пер. Ф. Эвальда, В. Григорьева, А. Ильина. Лейпциг: 1864. С. VI.
↑ Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел / Пер. Б. Б. Демьянова, общая ред. И. М. Виноградова, комментарии Б. Н. Делоне. М.: Изд-во АН СССР, 1959.
↑ Касселс Дж. Введение в геометрию чисел М.: Мир, 1965.
↑ Галуа Э. Сочинения. М.—Л.: ОНТИ, 1936.
↑ Проблемы Гильберта / Под ред. П. С. Александрова. М.: «Наука», 1969. С. 34.
↑ Джевонс С. Основы науки. СПб.: 1881.
↑ Клайн М. Математика. Утрата определённости, 1984 , с. 228—250.
↑ Клайн М. Математика. Утрата определённости, 1984 , с. 251—299.
↑ Естественнонаучные познания древней Руси (XI–XV ВВ.) (неопр.) . www.portal-slovo.ru. The appeal date is May 19, 2019.
↑ Софья Ковалевская: первая в мире женщина – профессор математики // www.rosimperija.info.
↑ Вейль Г. Полвека математики, 1969 , с. 7-8.
↑ Грэхем, Рональд. Математика и компьютеры: проблемы и перспективы // Квант . — 2016. — № 3 . — С. 2–9.

Literature

Весь исторический период

Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Пер. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М. : КомКнига, 2007. — ISBN 978-5-484-00525-3 . Архивная копия от 14 сентября 2015 на Wayback Machine
Глейзер Г. И. История математики в школе . - M .: The Enlightenment, 1964. - 376 p.
Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики / Пер. with fr. — М. , 1986. — 432 с.
Depman I. Ya. The history of arithmetic. Manual for teachers . - Ed. the second. - M .: Enlightenment, 1965. - 416 p.
The history of mathematics. In 3 volumes / ed. A.P. Yushkevich . - M .: Science, 1970-1972.

Volume I. From ancient times to the beginning of the New Age (1970)
Volume II. Mathematics of the XVII century (1970)
Volume III. Mathematics of the XVIII century (1972)

History of Russian Mathematics (in 4 volumes, 5 books) / Ed. I. Z. Stockal. - Kiev: Naukova Dumka, 1966-1970.
Kline M. Mathematics. Loss of certainty . - M .: Mir, 1984. - 446 p. Archived February 12, 2007. Archive copy from February 12, 2007 on Wayback Machine
Kline M. Mathematics. The search for truth. - M .: Mir, 1988. - 295 p.
Malakhovsky V.S. Selected Chapters in the History of Mathematics. - Kaliningrad: Amber tale, 2002. - 304 p. - ISBN 5-7406-0544-X .
Essays on the history of mathematics. - M .: Publishing House of Moscow State University, 1997.
Rybnikov KA. The history of mathematics in two volumes. - M .: Ed. Moscow State University.

Volume I (1960)
Volume II (1963)

Stillwell D. Mathematics and its history . - Moscow-Izhevsk: Institute of Computer Science, 2004. - 530 p. Archived copy from June 7, 2015 on Wayback Machine
Stroyk D. Ya. Short essay on the history of mathematics . - Ed. 3rd - M .: Science, 1984. - 285 p.
Reader on the history of mathematics / Ed. A.P. Yushkevich. - M .: Enlightenment.

Arithmetic and algebra. Number theory. Geometry. 1976, 318 p.
Mathematical analysis. Probability theory. 1977, 224 p.

Ancient history

Berezkina EI. Ancient Chinese mathematics. - M .: Fizmatgiz, 1987.
Van der Warden. Awakening science. Mathematics of ancient Egypt, Babylon and Greece . - M .: Science, 1959. - 456 p.
Vygodsky M. Ya. Arithmetic and Algebra in the Ancient World. - M .: Science, 1967.
Neugebauer O. Lectures on the history of ancient mathematical sciences . - M. - L., 1937.
Matvievskaya G.P. Essays on the history of trigonometry. - Tashkent: Fan, 1990.
Chistyakov V. D. Materials on the history of mathematics in China and India. - M .: Uchpedgiz, 1960.
Zeyten GG The history of mathematics in antiquity and in the Middle Ages. - M.L.: GTTI, 1932. - 230 p.

New time, XVI — XVIII century

Bell E. T. Creators of Mathematics . - M .: Enlightenment, 1979. - 256 p.
G. Vileitner. The history of mathematics from Descartes to the middle of the XIX century . - M .: GIFML, 1960. - 468 p.
Gindikin S. G. Stories about physicists and mathematicians . - 3rd ed. - M .: MTSNMO , 2001. - ISBN 5-900916-83-9 .
Lishevsky V.P. Stories about scientists. - M .: Science, 1986.
Maistrov L. E. Probability theory. Historical essay. - M .: Science, 1967.
Markushevich A.I. Essays on the history of the theory of analytic functions . - M .: GTTI, 1951.
Matvievskaya G.P. Rene Descartes . - M .: Science, 1987.
Nikiforovsky V. A. From the history of algebra. - M .: Science, 1979.
Nikiforovsky V. A. Path to the integral. - M .: Science, 1985.
Simonov R. А. Mathematical Thought of Pre-Peter the Great Russia. - M .: Science, 1977.
Zeiten G. G. The history of mathematics in the XVI and XVII centuries. - M.L.: ONTI, 1938. - 456 p.

XIX — XX centuries

Weyl G. Half a Century of Mathematics (1900-1950). - M .: Knowledge, 1969.
Klein F. Lectures on the development of mathematics in the XIX century . - M.L.: GONTI, 1937. Archived April 28, 2010. : * M.L.: GONTI, 1937. 432 p.

Volume II. M.-Izhevsk: 2003, 239 p.

Kolmogorov A.N., Yushkevich A.P. (ed.). Mathematics of the XIX century. - M .: Science, 1978-1987.

Volume 1. Mathematical logic. Algebra. Number theory. Probability theory. 1978
Volume 2. Geometry. Theory of Analytic Functions. 1981
Volume 3. Chebyshev direction in the theory of functions. Ordinary differential equations. Calculus of variations. Theory of finite differences. 1987

Mathematics in the USSR for forty years, 1917-1957. - M .: Fizmatgiz, 1959.

Volume 1. Review articles
Volume 2. Bibliography

Mathematical events of the XX century. Collection. - M .: FASIS, 2003. - 560 p. - ISBN 5-7036-0074-X .
Medvedev F. The development of the theory of sets in the XIX century. - M .: Science, 1965.
Hilbert's problems . - M .: Science, 1969.
Tikhomirov V. Mathematics in the first half of the 20th century // Kvant . - 1999. - № 1 .
Tikhomirov V. Mathematics in the second half of the 20th century // Kvant . - 2001. - № 1 .

Links

Mathematics // Encyclopedic dictionary of Brockhaus and Efron : in 86 tons (82 tons and 4 extra). - SPb. , 1890-1907.

[9] «Согласно большинству мнений, геометрия была впервые открыта в Египте, и возникла при измерении площадей» // Proclus Diadochus. In primum Euclidis Elementorum commentarii. — Leipzig, 1873. — С. 64.

[13] «…так называемые пифагорейцы, занявшись математикой, первые развили её и, овладев ею, стали считать её начала началами всего существующего… им казалось, что всё остальное по своей природе явно уподобляемо числам, и что числа — первое во всей природе, то они предположили, что элементы чисел суть элементы всего существующего и что всё небо есть гармония и число» // Аристотель. Метафизика, глава пятая. — М.—Л., 1934. — С. 26—27.

[17] Имеется в виду не нынешний Калининград, а Кёнигсберг в Баварии .

[_3488a2ed7fc81916-1] Клайн М. Математика. Утрата определённости, 1984 , с. 44—47.

[2] Молодший В. Н. Очерки по вопросам обоснования математики. — М. : Учпедгиз, 1958. — С. 7.

[3] Wigner EP The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1960. — № 13 . — С. 1—14 . См. русский перевод в книге Этюды о симметрии . — М. : Мир, 1971. или в УФН за март 1968 .

[_10de10b81abed720-4] Клайн М. Математика. Утрата определённости, 1984 , с. 323—407.

[5] Фролов Б. А. Числа в графике палеолита. — Новосибирск: Наука, 1974. — 240 с.

[YUSH1213-6] ¹ ² История математики, 1970—1972 , Том I, с. 12-13.

[7] Мах Э. Познание и заблуждение // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. — М. : Мир, 1979. — С. 74 (подстрочное примечание). - 592 s. : «прежде чем возникнет понятие о числе, должен существовать опыт, что в известном смысле равноценные объекты существуют множественно и неизменно ».

[_f6dada652b2aeb80-8] История математики, 1970—1972 , Том I, с. 14.

[_c1cd8df5bc39fe01-10] История математики, 1970—1972 , Том I, с. 21-33.

[_a7b74f93b1a8107c-11] История математики, 1970—1972 , Том I, с. 30-32.

[_c3045bf21c430f1d-12] История математики, 1970—1972 , Том I, с. 158.

[14] Неморарий. О данных числах / Пер. and approx. С. Н. Шрейдера. Ed. И. Н. Веселовского // Историко-математические исследования. — 1959. — Т. XII . — С. 559—678 .

[15] Зубов В. П. Из истории средневековой атомистики // Труды Института истории естествознания. — 1947. — Т. I . — С. 293 .

[16] Орем Н. Трактат о конфигурации качеств // Историко-математические исследования / Пер. В. П. Зубова . — М. , 1958. — Вып. 11 — С. 601—732 .

[18] Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках . — М. : Наука, 1982. — (Библ. «Квант», вып. 14).

[19] Fr. Viete . Introduction a l'art analytique. Bollettino di bibliografia e storia delle scienze matematiche e phisiche, v. I, 1868.

[20] Декарт Р. Геометрия // Рассуждение о методе, с приложениями / Пер., статьи и комментарии Г. Г. Слюсарева и А. П. Юшкевича. М.— Л.: Изд. Академии наук СССР, 1953.

[21] Кэджори Ф. История элементарной математики. Прибавление 12 / Пер. И. Ю. Тимченко. - 2nd ed., Corr. — Одесса: Mathesis, 1917.

[_472d4d3c736d3991-22] История математики, 1970—1972 , Том I, с. 304-305.

[_b39703efb10262dd-23] История математики, 1970—1972 , Том II, с. 21.

[24] Юшкевич А. П. Декарт и математика. // Р. Декарт. Geometry. М.— Л.: 1938. С. 255—294.

[25] Декарт Р. Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта / Пер., примечания и статья А. П. Юшкевича. М.— Л.: 1938.

[26] Бернулли Я. О законе больших чисел / Пер. Я. В. Успенского. Предисловие А. А. Маркова. М.: Наука, 1986.

[27] И. Кеплер. Новая стереометрия винных бочек / Пер. и предисловие Г. Н. Свешникова. Вступительная статья М. Я. Выгодского. М.— Л.: ГТТИ, 1935. С. 109.

[28] Кавальери Б. Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного, с приложением «Опыта IV» о применении неделимых к алгебраическим степеням / Пер., вступительная статья и комментарии С. Я. Лурье. М.— Л.: 1940.

[29] Ферма П. Введение в изучение плоских и пространственных мест. О максимуме и минимуме. Выдержки из переписки с Декартом // Р. Декарт. Geometry. М.—Л.: 1938. С. 137—196.

[30] И. Ньютон. Математические работы / Пер., статьи и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского. М.—Л.: 1937.

[31] Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений / Составил и перевёл А. П. Юшкевич. — Успехи матем. наук, 1948. Т. III. В. I (23). С. 165—204.

[32] Антуан Арно . Новые начала геометрии ( фр. Nouveaux elements de geometrie ), Париж, 1667.

[33] Ж. Лагранж. Аналитическая механика, т. I, II / Пер. В. С. Гохмана, под ред. Л. Г. Лойцянского и А. И. Лурье. М.—Л.: 1950.

[34] Лаплас П. С. Изложение системы мира. — Л.: Наука, 1982. 376 с.

[35] Л. Эйлер. Введение в анализ бесконечных. Т. I / Пер. Е. Л. Пацановского, статья А. Шпайзера, ред. И. Б. Погребысского. С. 109.

[36] Котек В. В. Леонард Эйлер. М.: Учпедгиз, 1961

[37] Лаплас П. Опыт философии теории вероятностей / Пер. AIB; ed. А. К. Власова. М.: 1908.

[38] Панов В. Ф. Математика древняя и юная. - Ed. 2-е, исправленное. — М. : МГТУ им. Баумана , 2006. — С. 477. — 648 с. — ISBN 5-7038-2890-2 .

[39] Г. Монж. Начертательная геометрия / Пер. В. Ф. Газе, под редакцией Д. И. Каргипа. М.: 1947.

[40] Гаусс К. Ф. Общие исследования о кривых поверхностях // Основания геометрии. М.: ГИТТЛ, 1956.

[41] Стройк Д. Очерк истории дифференциальной геометрии. M .; Л.: Гостехиздат, 1941.

[42] Риман Б. Сочинения М.—Л.: ОГИЗ. ГИТТЛ, 1948.

[43] О. Л. Коши. Алгебраический анализ / Пер. Ф. Эвальда, В. Григорьева, А. Ильина. Лейпциг: 1864. С. VI.

[44] Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел / Пер. Б. Б. Демьянова, общая ред. И. М. Виноградова, комментарии Б. Н. Делоне. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

[45] Касселс Дж. Введение в геометрию чисел М.: Мир, 1965.

[46] Галуа Э. Сочинения. М.—Л.: ОНТИ, 1936.

[47] Проблемы Гильберта / Под ред. П. С. Александрова. М.: «Наука», 1969. С. 34.

[48] Джевонс С. Основы науки. СПб.: 1881.

[_e3cfe13d7239c720-49] Клайн М. Математика. Утрата определённости, 1984 , с. 228—250.

[_e76ec2205f47a635-50] Клайн М. Математика. Утрата определённости, 1984 , с. 251—299.

[51] Естественнонаучные познания древней Руси (XI–XV ВВ.) (неопр.) . www.portal-slovo.ru. The appeal date is May 19, 2019.

[52] Софья Ковалевская: первая в мире женщина – профессор математики // www.rosimperija.info.

[_0681615188a09237-53] Вейль Г. Полвека математики, 1969 , с. 7-8.

[54] Грэхем, Рональд. Математика и компьютеры: проблемы и перспективы // Квант . — 2016. — № 3 . — С. 2–9.

History of mathematics

The emergence of arithmetic and geometry

Ancient East

Egypt

Babylon

China

Ancient Greece

India

Islamic countries

Western Europe

Middle Ages, IV — XV centuries.

XVI century

XVII century

XVIII century

XIX век

Geometry

Математический анализ

Алгебра и теория чисел

Теория вероятностей

Математическая логика

Обоснование математики

Теория множеств и антиномии

Russia

XX век: основные достижения

New Directions

Математическая логика и основания математики

Алгебра и теория чисел

Математический анализ и математическая физика

Геометрия и топология

Дискретная и компьютерная математика

See also

Notes

Literature

Links

More articles: