The history of mathematical notation

The history of mathematical notation is the history of the development of symbols used for the compact recording of mathematical equations and formulas . In addition to the Indo-Arabic numerals and letters of various alphabets ( Latin , including in the Gothic , Greek and Hebrew ), the mathematical language uses many special characters invented over the past several centuries.

Well-designed notation, reflecting the properties of the studied objects, helps to avoid errors or incorrect interpretation, transfers part of the study to the technical level, and often “suggests” the correct way to solve the problem. According to Alfred Whitehead , a successful designation frees the brain from unnecessary work, thereby allowing it to focus on more important tasks ^[1] .

Initially (for example, in the " Beginnings " of Euclid ), mathematical statements were formulated verbally. Such a record was cumbersome, often ambiguous, and algebraic transformations required outstanding qualifications. A great contribution to the development of designations was made by François Viet (XVI century); in particular, he began to use letter designations instead of specific numbers. Gradually, almost all words in mathematical formulas (designations of operations , comparison relations , etc.) were replaced with special characters - mathematics found its own language that does not require translation, a language with a clearly defined meaning of “words” and a strict grammar, which allows us to deduce from true statements others are equally true.

Content

1 The role of symbolic notation in mathematics
2 Ancient numerical systems and the origin of mathematical symbolism
- 2.1 Ancient Egypt
- 2.2 Babylon
- 2.3 China
- 2.4 Ancient Greece
- 2.5 India
- 2.6 Russia
- 2.7 Other peoples
3 Historical development of symbolism
- 3.1 Middle Ages
- 3.2 XVI century. Simon Stevin and Francois Viet
- 3.3 XVII century
  - 3.3.1 Algebraic Symbols
  - 3.3.2 Geometry
  - 3.3.3 Mathematical analysis
- 3.4 XVIII century
- 3.5 XIX century
- 3.6 XX century
4 History of individual characters
- 4.1 Algebra
  - 4.1.1 Objects
  - 4.1.2 Operations
  - 4.1.3 Relations
- 4.2 Geometry
- 4.3 Number Theory
- 4.4 Functions
  - 4.4.1 Elementary Functions
  - 4.4.2 Special functions
- 4.5 Linear Algebra
- 4.6 Mathematical analysis
- 4.7 Mathematical logic and set theory
- 4.8 Other designations
5 See also
6 notes
7 Literature
8 References

The Role of Symbols in Mathematics

The advantages of symbolic notation are compactness, unambiguous interpretation, ease of transformation. Leibniz in a letter to Chirnhaus (1678) wrote ^[2] :

Care should be taken to ensure that the signs are convenient for discoveries. This is achieved to the greatest extent when the signs briefly express and, as it were, reflect the deepest nature of the thing; at the same time, the work of thinking is surprisingly reduced.

The German historian Josef Peter Treutlein ( Josef Peter Treutlein , 1845-1912) remarked about symbolism that nowhere is intellectual content connected with the form of its representation as closely as in mathematics, so for the development and deepening of the content it is often necessary to improve the form ^[3] .

Another historian of mathematics, Moritz Kantor , points out the requirements for mathematical notation ^[4] :

It should clearly and unambiguously reflect the concept or operation for which it is intended.
It should be concise and convenient (easy to write and print).
It must have sufficient flexibility to allow, if necessary, to extend its meaning to wider areas.

These statements explain in which direction the system of mathematical notation has historically developed.

Ancient Numerical Systems and the Origin of Mathematical Symbolism

In any civilization, the oldest mathematical designation is numbering (notation of numbers) . According to the method of generating numbers from basic characters (digits), ancient numbering systems are divided into three types ^[5]

Additive (from lat. Additio - addition ). Example: Roman number XXX, which consists of three Roman characters “ten” and represents the value 30.
Subtractive (from lat. Subtractio - subtraction ). Example: Roman number IX, where the unit symbol is to the left of the tens and therefore is subtracted from it.
Multiplicative (from lat. Multiplicatio - multiplication ). An example is the Chinese number notation system (see below ).

Later, a positional number system appeared in which the numerical value of a digit depends not only on the digit itself, but also on its position in the record of the number. Signs of operations , relations, and other symbolic notations also appeared later; initially, algorithms and formulas were stated verbally.

Ancient Egypt

Hieroglyphic notation of the number 35 736

Ancient Egyptian numbering at first was similar to the later Roman one : it had separate signs for 1, 10, 100, ... 10 000 000, which were combined additively (folding). The Egyptians wrote from right to left, but the lower digits of the number were written first, so that in the final analysis the order of the numbers corresponded to the modern one. The hieratic letter already has separate designations for each digit from 1 to 9 and abbreviated characters for different tens, hundreds and thousands ^[6] .

Special characters denoted fractions of the form ${\frac {1}{n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}}}$ , as well as a practically important fraction ${\frac {2}{3}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2} {3}}}$ . The general concept of fractions ${\frac {m}{n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {m} {n}}}$ they did not have, and all non-canonical fractions were represented as the sum of aliquot fractions . Typical decompositions were summarized in bulky tables ^[6] .

Examples of images of common fractions

1/2

{\ displaystyle 1/2}

1/3

{\ displaystyle 1/3}

2/3

{\ displaystyle 2/3}

1/4

{\ displaystyle 1/4}

1/5

{\ displaystyle 1/5}

An example of recording fractions from Papyrus Rind ^[7] :

5 + ¹ ⁄ ₂ + ¹ ⁄ ₇ + ¹ ⁄ ₁₄ (value: 5 ⁵ ⁄ ₇ )

To indicate the operations of addition and subtraction, one of the hieroglyphs was used:

or

If the direction of the “feet” of this character coincided with the direction of the letter, then it meant “addition”, in other cases it meant “subtraction”. There were no special notations for multiplication and division ^[8] .

Babylon

The Babylonian tablet (about 1800-1600 BC) with the calculation

{\sqrt {2}}\approx 1+24/60

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ approx 1 + 24/60}

+51/60^{2}+10/60^{3}

{\ displaystyle + 51/60 ^ {2} + 10/60 ^ {3}}

= 1,41421296 ...

The Sumerians and Babylonians used a six-decimal positional number system . They wrote, like the Europeans, from left to right. However, recording the required 60 digits with cuneiform was peculiar. There were only two signs for the numbers; we denote them by E (units) and D (tens); later an icon for zero appeared. The numbers from 1 to 9 were depicted as E, EE, ... EEEEEEEEE. Next came D, DE, ... DDDDDEEEEEEEEEE (59). Thus, the number was represented in the positional six-decimal system, and its six-decimal digits - in the additive decimal. Similarly recorded fractions. For popular fractions 1/2, 1/3 and 2/3 there were special characters ^[9] .

When describing algorithms for solving equations, signs for unknowns were Sumerian, from which we can conclude that these algorithms are ancient; these signs were used as short notation for unknowns in modern algebra ^[10] .

China

Chinese numbers were indicated by special characters that appeared in the 2nd millennium BC. e., and their mark was finally established by the III century BC. e. These characters are used at present. The Chinese way of writing numbers was originally multiplicative . For example, the number 1946 was written as 一千九百四十六 - "one-thousand-nine-one-hundred-four-ten-six." However, in practice, calculations were performed on the Xuanpan counting board, where the numbers were written differently — positionally, as in India, and, unlike the Babylonians, decimal. At first, zero was designated as an empty place, a special character 零 appeared around the 12th century. e. Effective algorithms have been developed for multiplication and division on the counting board, described verbally in the manuals ^[11] .

In the III century AD e. Under the influence of the decimal system of measures traditional in China, decimal fractions also appeared . In written sources, decimal fractions for some time were depicted in the traditional (non-positional) format, but gradually the positional system replaced the traditional one ^[12] .

Ancient Greece

Sheet from the " Arithmetic " of Diophantus (copy of the XIV century). The top line contains the equation:

x^{3}\cdot 8-x^{2}\cdot 16=x^{3}

{\ displaystyle x ^ {3} \ cdot 8-x ^ {2} \ cdot 16 = x ^ {3}}

Greek numbering , like Egyptian and Roman, was additive, that is, the numerical values of the characters were added. Its first variant ( Attic or Herodian's ) contained alphabetic characters for 1, 5, 10, 50, 100 and 1000. Accordingly, a counting board ( abacus ) with pebbles was also arranged. A special holey pebble denoted zero. Later (starting from the 5th century BC), the alphabetical number was adopted instead of the Attic numbering - of the 24 letters of the Greek alphabet, the first 9 were numbers from 1 to 9, the next 9 letters were tens, the rest hundreds. In order not to confuse numbers and letters, a dash was drawn above the numbers. Numbers greater than 1000 were recorded positionally, marking additional digits with a special stroke (lower left). Special marks made it possible to represent numbers larger than 10,000 ^[13] . Ancient Greek scholars were the first to write down fractions vertically - however, their numerator was not higher but lower than the denominator, and there was no fraction line ^[14] .

At first, the Greeks did not have algebraic symbolism. The only exception is the short notation with letters of geometric points , as well as line segments or circular arcs at their end points.

The pinnacle of ancient algebra was the work of Diophantus of Alexandria (III century A.D.). Having far ahead of his time, he introduced alphabetic symbolism - so far only for an unknown quantity, which he denotes with a letter $\zeta$ ${\ displaystyle \ zeta}$ ( zeta ). Diophantus also used special characters for degrees of the unknown, up to the sixth, and their inverse. Special character (inverted letter $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ ) meant the subtraction of the number following it. Letter $\iota$ ${\ displaystyle \ iota}$ ( iota , from the Greek. ἴσος 'equal') played the role of an equal sign. All these innovations made it possible to write in a general form, for example, the rules for multiplying degrees (including negative ones), the rule of signs when multiplying by a negative number, and methods for solving indefinite equations in integers ^[15] ^[16] .

India

Already in the ancient Indian texts in Sanskrit, means were provided for naming numbers in the decimal number system ^[17] , up to $10^{53}$ ${\ displaystyle 10 ^ {53}}$ .

The date “605 year of the Shak era ” (683 year) written down by ancient Khmer figures: the oldest image of zero (Sambour, Cambodia)

Indian numbering has gone down in history for two reasons. Around the VI century BC e. in India, separate signs appeared for numbers from 1 to 9, which became the prototype of modern European numbers; their author is unknown, but the first three designations coincide with the Chinese. Around the year 500 BC e. Indian scientists invented the decimal positional number notation system . Performing arithmetic in the new system was immeasurably simpler than in the old ones, with clumsy letter codes or with sixty decimal numbers. For the purposes of the new system, it was necessary to introduce a new number - zero . Scientists disagree on where this idea came from in India - from the Greeks, from China, or the Indians invented this important symbol on their own ^[18] .

Indian mathematicians continued the development of mathematical symbolism, although they went their own way. Having reduced the corresponding Sanskrit terms to one syllable, they used them as symbols of the unknowns, their degrees and free members of the equations. For example, multiplication was indicated by the sign gu (from the word gunita , multiplied). Subtraction was indicated by a dot above the subtracted or plus symbol to the right of it. If there were several unknowns, they were assigned conditional colors for definiteness. The square root was denoted by the syllable “ mu ”, short for mule (root). To name the degrees, abbreviations of the terms “ varga ” (square) and “ ghava ” (cube) were used ^[19] :

Power	$x^{2}$ ${\ displaystyle x ^ {2}}$	$x^{3}$ ${\ displaystyle x ^ {3}}$	$x^{4}$ ${\ displaystyle x ^ {4}}$	$x^{5}$ ${\ displaystyle x ^ {5}}$	$x^{6}$ ${\ displaystyle x ^ {6}}$	$x^{7}$ ${\ displaystyle x ^ {7}}$	$x^{8}$ ${\ displaystyle x ^ {8}}$	$x^{9}$ ${\ displaystyle x ^ {9}}$
Title	wa	gha	wah wah	wa gha ghata	wa gha	wa wa gha ghata	wa wa wa	gha gha

The recording of fractions, unlike the Greeks, was made out according to modern rules: the numerator is above the denominator, although it was customary to record the whole part of the mixed fraction not to the left, but above the numerator. Addition and multiplication of fractions were denoted identically - both fractions were simply written side by side; the type of operation had to be recognized from textual explanations. There was no equal sign , the right side of the equation was written under the left, trimming the monomials in equal degrees of the unknown ^[20] .

Russia

Tower clock with cyrillic numbers in Suzdal

The Cyrillic numeration system (“Slavic numbering”) in Russia appeared along with the Cyrillic alphabet (9th century) and adopted the Greek custom to designate numbers using letters marked with a special icon . We used letters similar to Greek, but specifically Slavic ( b , f , w , etc.) did not receive numerical values. An exception was made for the letters h and q , which adopted the numerical values of the archaic Greek letters "koppa" and " sampi ". Numbers were written as in the Roman Greek system - additively: for example, m҃g meant 40 + 3. For large numbers (starting from 1000), special marks were used ^[21] . The Cyrillic number system was used among the Eastern Slavs until the 18th century, after which everywhere, with the exception of church literature, it was replaced by a modern one.

Other nations

Numbering systems of other nations are devoted to articles:

Arabic numerals
Armenian number system
Jewish numbers
Kipu
Roman numerals
Mayan numbers
Japanese numerals

The historical development of symbolism

Middle Ages

Arab mathematicians from about the 7th to the 13th century contributed to the development of ancient and Indian knowledge. Among other things, they adopted the Indian decimal positional numbering and mastered (apparently, regardless of the Chinese) decimal fractions . The first rules for working with decimal fractions were described in the X century by Al-Uklidisi , the whole part of his fraction was separated from the fractional apostrophe . Al-Kashi published a detailed description of decimal arithmetic in the 15th century, but even then decimals were not widely used in the Islamic world. Al-Kashi used a vertical line or ink of a different color to separate the fractional part of the number. Although the term “ algebra ” was of Arab origin, there was no symbolic algebra in Islamic countries, all formulas were stated verbally; the exception was the work of the Spanish-Moorish mathematician al-Kalasadi (1486) and his students. Al-Kalasadi invented signs for the unknown, his square, square root and equal sign, but they did not receive distribution ^[22] .

Starting from the XII century, ancient and Arabic works began to penetrate into Europe and translated into Latin. At the same time, especially in the trading environment, Indian numbers and rules for dealing with them are rapidly spreading. In the first works of European mathematicians, all formulas are still stated verbally. The first (not very convenient) sketch of algebraic symbolism was given by Luca Pacioli , the greatest algebraist of the 15th century. He introduced the notation ${\tilde {p}}$ ${\tilde {p}}$ for the addition operation and ${\tilde {m}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {m}}}$ for subtraction (from Italian. piu, meno ), quite similar to the later plus and minus . For the square root, Pacioli used the stylized letters proposed by Fibonacci $R_{x}$ ${\ displaystyle R_ {x}}$ , from the word Radix (root), marked for roots of a degree higher than the second. An example of a Pacioli record ^[23] :

R_{x}.6.{\tilde {m}}.R_{x}.2.

{\ displaystyle R_ {x} .6. {\ tilde {m}}. R_ {x} .2.}

modern record:

{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}.

{\ displaystyle {\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}}.}

Pacioli proposed short syllabic notation for the unknown and its degrees, reminiscent of the Indian system, but in 1484 Nicolas Schuecke published a more convenient project; e.g. modern monomial $12x^{3}$ ${\ displaystyle 12x ^ {3}}$ Shuke wrote down just like $12^{3}.$ ${\ displaystyle 12 ^ {3}.}$ Among other promising ideas of Shuke is the use of minus ${\tilde {m}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {m}}}$ as a sign of negative numbers and underlining complex expressions instead of modern brackets ^[24] ^[25] .

Another important step was taken by a German algebraic school of the 15th century, which called itself cosists (Pacioli called an unknown quantity cosa , thing). In Johann Widmann's textbook of arithmetic (1489), Pacioli's symbols for adding and subtracting were replaced by modern pluses and minuses. Kossists denoted the degrees of the unknown by a combination of Gothic letters , these “kossic signs” gained some distribution (their influence is noticeable even in Magnitsky's “Arithmetic”, 1703) ^[26] .

XVI century. Simon Stevin and Francois Viet

Page from the "Tenth" Stevin; the numbers in the circles are the numbers of the digits of decimal fractions: zero means the integer part, the first - tenths, the second - hundredths, etc.

A century after al-Kashi, the book of Simon Stevin “Tenth” (1585) was published, with which the widespread use of decimal fractions in Europe begins. Stevin, for clarity, indicated their numbers in circles above the decimal digits (see. Figure). By the same means, he wrote down algebraic expressions; the number in the circle indicates the number of the variable, before it, if necessary, the degree of this variable was indicated: sec (square) or ter (cube). As signs of multiplication and division, Stevin used the letters M and D, respectively. Stevin freely used fractional exponents, which he also entered into circles ^[27] .

Other well-known designations that appeared in the 16th century include the equal sign (1557, Robert Record ) and the decimal point ( Giovanni Magini , 1592). The German mathematician Christoph Rudolph from the school of Cossists replaced Pacioli's square root designation with the modern radical sign (1525) ^[28] . Unusual fate befell the complex numbers discovered in the 16th century - initially introduced as conditional, meaningless symbols, they two centuries later acquired a clear meaning and proved of great practical use as a legal mathematical object .

Francois Viet

At the end of the 16th century, the works of the French mathematician François Viet were published, which revolutionized algebra. Viet set the goal of developing a new language, a kind of generalized arithmetic, which would make it possible to carry out mathematical research with previously unattainable depth, generality and evidentiary power. In his research, Viet immediately solves problems in a general way and only then gives numerical examples. He denoted in letters not only unknowns that had already been met before, but also all other parameters for which he coined the term “ coefficients ” (literally: contributing ). Prior to Vieta, the designation of algebraic laws operands and initial data of equations with alphabetic characters occasionally occurred in Regiomontan , Christoph Rudolph , Adam Rize , Gerolamo Cardano and Michael Stifel , but only Viet was able to correctly evaluate the possibilities of such an approach and put it at the heart of his algebra ^[29] ^[30 ^] ^] .

Viet used only uppercase letters for naming variables (as in ancient geometry) - vowels for unknowns, consonants for coefficients. Of the signs of operations, he used three: plus , minus, and the fraction bar for division ; multiplication was indicated by the Latin preposition in . Instead of brackets, he, following Shuke, emphasized the highlighted expression from above (in several cases, Viet used curly braces ). Vieta's exponents are still written verbally. For example, in the treatise " On the Analysis and Improvement of Equations " the equation ^{[29] is} written:

A\ cubus+B\ plano\ 3\ in\ A\ aequari\ Z\ solido\ 2

{\ displaystyle A \ cubus + B \ plano \ 3 \ in \ A \ aequari \ Z \ solido \ 2}

In a modern record:

x^{3}+3b^{2}x=2z^{3}

{\ displaystyle x ^ {3} + 3b ^ {2} x = 2z ^ {3}}

The new system, despite its cumbersomeness and limitations, made it possible to fairly simply and clearly describe the general laws of arithmetic and computational algorithms; with its help, Viet made many mathematical discoveries. The symbolism of Vieta was immediately appreciated by scientists from different countries, who began to improve it; this primarily concerned the signs of operations , including exponentiation and root extraction .

XVII century

Algebraic Symbols

In the 17th century, the English mathematician Thomas Herriot became the successor of the creation of symbolic algebra after Viet, his main work was published posthumously in 1631. Harriot simplified the symbolism of Viet and reduced the notation of formulas - instead of capital letters, he used lowercase letters, supported the equal sign of the Record, replaced degrees by multiplication: $a a a$ ${\ displaystyle aaa}$ instead of modern $a^{3}$ ${\ displaystyle a ^ {3}}$ . Herriot's introduction of comparison marks was a great achievement. $<\ \ >$ ${\ displaystyle <\ \>}$ (used to be written with the words: less, more ). Variant of non-stringent comparison characters $\leqslant \ \ \geqslant$ ${\ displaystyle \ leqslant \ \ \ geqslant}$ Wallis proposed in 1670 ^[31] , but Pierre Bouguer (1734) ^[32] provided them with wide distribution. Herriot's odds were separated from the letters by a dot, so this dot actually played the role of a multiplication sign, for example: $aaa-3.baa+3.bba$ ${\ displaystyle aaa-3.baa + 3.bba}$ (modern entry: $a^{3}-3ba^{2}+3b^{2}a).$ ${\ displaystyle a ^ {3} -3ba ^ {2} + 3b ^ {2} a).}$ It should be noted that he was the first to systematically transfer all expressions to the left side of the equation ^[33] .

Alber Girard (1626) and William Otred (1631) introduced their improvements. Girard had parentheses and a plus or minus sign . The square root by this time already had outlines similar to modern ones; Girard proposed recording the exponent of cubic and other roots of high degrees above the radical sign, and this construction remained in mathematics ^[28] ^[34] ^[35] .

The merit of Hereda is the introduction of the following characters ^[36] ^[37] : the multiplication sign (oblique cross $\times$ ${\ displaystyle \ times}$ ), division sign (slash $/$ ${\ displaystyle /}$ ) and the symbol of parallelism $\|$ ${\ displaystyle \ |}$ . Historians estimate that Otred used about 150 different mathematical notations, his own and those of others. However, most of them did not stand the test of time - for example, designs $A q, A q q$ ${\ displaystyle Aq, Aqq}$ for $A^{2},A^{3}$ ${\ displaystyle A ^ {2}, A ^ {3}}$ respectively or ${\sqrt {}}c$ ${\ displaystyle {\ sqrt {}} c}$ for the cubic root were replaced by more successful characters ^[38] .

In the XVII century, many leading mathematicians came to the conclusion that the exponent should be expressed in an explicit number, and not be encoded by the designation of the base (as with the Cossists) or by a verbal abbreviation like Q (square) or C (cube), because otherwise it is impossible to write such rules action with degrees like $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$ ${\ displaystyle a ^ {m} a ^ {n} = a ^ {m + n}}$ , and algebraic transformations require excessive mental effort. Girard, Erigon, and other mathematicians proposed options for recording the indicator record ^[39] .

Rene Descartes

The algebraic language received a practically modern look in the middle of the 17th century from Descartes . He suggested using the initial letters of the alphabet for known parameters: $a,b,c\dots ,$ ${\ displaystyle a, b, c \ dots,}$ and for unknowns - the last letters: $x, y, z .$ ${\ displaystyle x, y, z.}$ Descartes has formed a modern record of degrees: $x^{3},$ ${\ displaystyle x ^ {3},}$ with an exponent to the right and above the variable; closer to the end of the century, Newton extended this record to fractional and negative indicators. F. Caggory characterizes the Cartesian notation of degrees as the most successful and flexible symbolism in the whole algebra - it not only facilitates the transformation, but also stimulated the expansion of the concept of exponentiation to negative, fractional, and even complex indicators, as well as the appearance of a power and exponential function in mathematics; all these achievements would be difficult to implement using the designations of the 16th century ^[40]

The algebraic symbolism of Descartes was almost completely accepted by subsequent generations of scientists, only an unusual Cartesian equal sign, which gained some distribution in France and Holland, was replaced by a more successful Robert Record symbol. In addition, restrictions on the coefficients were removed, the values of which Descartes always considered by default to be non-negative, and he marked the symbols of negative values with a minus sign in front. If the sign of the coefficient was unknown, Descartes put an ellipsis in front of him ^[41] . The Dutch mathematician Johann Hudde already in 1657 allowed literal variables to take values of any sign ^[42] . Newton's monograph Universal Arithmetic (1707), which has passed five reprints, not counting translations, uses Descartes’s notation and the equal sign of Record. The unification of algebraic notation by the end of the 17th century basically ended ^[41] .

Geometry

By the beginning of the 17th century, several common symbols already existed in geometry: points were marked in capital Latin letters, line segments, arcs of curves, triangles and other figures were indicated by the letters of the boundary points: $AB,{\widehat {ab}},ABC$ ${\ displaystyle AB, {\ widehat {ab}}, ABC}$ etc. The right angle was denoted by the letter d (from fr. droit 'direct'). In 1634, Pierre Erigon introduced symbols $\angle$ ${\ displaystyle \ angle}$ to indicate the angle and $\perp$ ${\ displaystyle \ perp}$ , meaning " perpendicularity " ^[43] . Since ancient times, the symbol of parallelism has been used , which coincides with the modern equal sign ; after the appearance of the latter, in order to avoid confusion, the parallel sign was rotated vertically ^[37] : $\|$ ${\ displaystyle \ |}$ .

At the turn of the XVII-XVIII centuries several more new geometric symbols appeared. English mathematician William Jones first used number notation $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ (1706 year). Euler made this designation generally accepted in the 18th century ^[44] . At the same time, Leibniz came up with symbols $\sim \ \cong$ ${\ displaystyle \ sim \ \ cong}$ to indicate the similarity or congruence of geometric shapes ^[45] .

Mathematical Analysis

Beginning of Leibniz's article “A New Method of Maxima and Minima, as well as Tangents” (1684), here Leibniz first used the differential symbol

When, at the end of the 17th century, Isaac Newton and Gottfried Leibniz created an extensive new branch of mathematics — mathematical analysis — the question arose of developing a convenient notation for it. Newton almost did not do this, and of the notation he proposed in mathematical analysis, there was only a way to denote the time derivative by a point located above the function symbol, for example: ${\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.$ ${\ displaystyle {\ ddot {x}} = {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}}.}$ This designation is inconvenient for derivatives of higher orders (more than the second). Newton also contributed to the consolidation of infinitesimal symbols in science ( “O” large and “o” small ), which were previously proposed by the Scottish mathematician James Gregory . In the field of symbolism, Newton also has the idea of using indices to name individual objects from an agreed set: $x_{1},x_{2}\dots$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2} \ dots}$ ^[46] ^[47] .

Newton did not offer a symbol for the integral , although he tried various options: a vertical line above the function, as well as a square symbol that stands before the function or borders it. Even in England, these options were not widespread; of the large mathematicians, they were used only by Newton's student Brooke Taylor (1715). In his “ Beginnings ”, Newton in a number of places denoted the functions themselves in capital letters, and their derivatives ( speeds ) - the same, but lowercase ^[48] .

Leibniz was more attentive to the development of notation. Over the course of several years, he carefully and patiently thought over various versions of terms and notations, discussed with colleagues, then selected the best, brought them into a single system and actively popularized. Leibniz is the author of modern notation for differential , derivative (including higher orders) and integral. Almost all of his innovations in this area are rooted in science, because Leibniz’s symbolism, in contrast to Newton’s, clearly reflected the operational features of analysis methods ^[49] ^[50] .

An example is the well-known formula for replacing a variable in an integral $x=\varphi (t)$ ${\ displaystyle x = \ varphi (t)}$ :

\int F(x)dx=\int F(\varphi (t))\cdot {d\varphi (t) \over dt}dt

{\ displaystyle \ int F (x) dx = \ int F (\ varphi (t)) \ cdot {d \ varphi (t) \ over dt} dt}

It clearly shows why Leibniz indicates under the integral not the integration variable itself, but its differential - only in this case the correct formula is obtained purely algebraically, "without unnecessary efforts of thought" ^[51] .

18th century

Leonard Euler

Leonard Euler , a leading mathematician of the eighteenth century, made a significant contribution to the notation. Euler gave names to three fundamental numerical objects - e for the " Euler number ", $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ for the ratio of the circumference of a circle to its diameter and i for an imaginary unit ^[52] . He also appeared the symbol of the double integral over an arbitrary flat region (1769), the sign of the sum ${\boldsymbol {\Sigma }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}}}$ (1755) ^[53] , the sign $\neq$ ${\ displaystyle \ neq}$ ("Not equal") ^[54] .

In 1787, Simon Liuille proposed one of the most important symbols of analysis - the designation of the limit , the "polishing" of which by various mathematicians continued until the end of the 19th century ^[55] .

XIX century

Karl Friedrich Gauss made a significant contribution to the notation at the beginning of the 19th century. He is the author of the generally accepted symbols of the " whole part " function: $[x]$ ${\ displaystyle [x]}$ and Euler functions , product sign: ${\boldsymbol {\Pi }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}}}$ (1812) and symbolic comparisons modulo ^[56] .

In the 19th century, the formation of symbols of mathematical analysis continued. Weierstrass in 1841 appeared a symbol of absolute magnitude . The symbol ∂ began to denote the partial derivative ^[47] ^[57] . The modern design for the boundaries of a certain integral ( Fourier , 1816), as well as for curvilinear , surface and volume integrals ^{[58], was} approved. By the end of the century, standard notation for the most important functions of analysis was basically established.

In the 19th century, many new branches of mathematics appeared, requiring the development of specific convenient notation for them. In particular, in linear algebra, the generally accepted design of matrices , determinants, and actions with them arose. This activity is combined with the creation and beginning of the widespread use of vector calculus and vector analysis , which caused the emergence of rich symbolism for the designation of vectors, tensors, and operations with them ^[59] .

In the XIX century, the beginning of a long work on the formalization of mathematical logic , which was continued in the XX century. The first characters, replacing the unions "therefore" and "because", suggested Johann Run back in the XVII century. Leibniz in his work on the foundations of mathematical logic did not propose any new symbolism ^[60] . The developed logical notation systems were simultaneously published by the English mathematicians August de Morgan and George Bull in 1847. Символика де Моргана была далека от современной, местами громоздка, а Буль старался не изобретать новых символов (он использовал обычные арифметические знаки операций, которым придал логический смысл), но фактически он определил символы для базовых логических операций — конъюнкции , дизъюнкции и отрицания . Тем самым был создан первый набросок алгебры для логических объектов (« Булевой алгебры ») и разработаны правила логических преобразований ^[61] .

В конце XIX века в трудах Георга Кантора появились первые символы теории множеств , они касались в основном мощности основных множеств математики и операций со знаками мощности. Новым идейным этапом в математической логике стали две монографии Готлоба Фреге (1879 и 1893 годы), но разработанная Фреге логическая символика была неудачной, и, кроме общих идей и «знака выводимости» $\vdash$ $\vdash$ , мало что из неё осталось в науке. Почти одновременно вышли в свет работы Эрнста Шрёдера (1877 и 1890) и Джузеппе Пеано (1895 и 1897) с оригинальными символами, часть которых (в частности, квантор существования ∃, символы «содержит» ∋ и «содержится» ∈) остались в науке.

В работе 1895 года Пеано уверенно заявил: можно изменить форму обозначений, можно некоторые убрать и добавить другие, но «мы теперь в состоянии выразить все математические утверждения с помощью небольшого числа знаков, которые имеют точный смысл и подчиняются чётко определённым правилам» ^[62] .

XX век

В XX веке были стандартизованы обозначения для интервала вещественных чисел: $(a,b),\ [a,b]$ $(a,b),\ [a,b]$ ^[63] .

Часть аксиом логики из « Principia Mathematica » в обозначениях 1-го издания (символ ⊃ обозначал импликацию , сейчас чаще используется символ

\rightarrow

\rightarrow

)

✸1.2 . ⊦ : p ∨ p . ⊃ . p .

✸1.3 . ⊦ : q . ⊃ . p ∨ q .

✸1.4 . ⊦ : p ∨ q . ⊃ . q ∨ p .

✸1.5 . ⊦ : p ∨ ( q ∨ r ) . ⊃ . q ∨ ( p ∨ r ).

✸1.6 . ⊦ :. q ⊃ r . ⊃ : p ∨ q . ⊃ . p ∨ r .

Как уже сказано выше, двум новым разделам математики, возникшим на рубеже XIX—XX веков — математической логике и теории множеств , — понадобился обширный комплект новых символов для логических и теоретико-множественных операций . Математики предложили более десятка таких систем обозначений, из которых время отобрало наиболее простые варианты ^[64] . Фундаментальный труд « Principia Mathematica » Уайтхеда и Рассела значительно продвинул как теорию, так и символику математической логики; за основу были приняты обозначения Пеано в улучшенном начертании. Кроме логических обозначений, Уайтхед и Рассел в своей книге используют во многом родственную ей символику теории множеств, частично охваченную ещё в работах Пеано. Авторы перечислили цели интенсивного использования формальной символики в этой книге ^[65] ;

Необходимо обеспечить однозначное понимание читателем материала высокой степени абстрактности.
Хорошо продуманный формализм помогает человеческой интуиции понять тематические идейные мотивы и связи.
Краткость символической записи облегчает её зрительное восприятие.
С помощью символики логическое рассуждение может быть расширено на области, которые обычно предполагались недоступными для математического рассмотрения.

Во второй половине XX века обширная работа по созданию новой символики понадобилась при разработке языков программирования . Проблема в том, что алфавиты этих языков были основаны на кодировке символов ASCII (семи- или восьмибитной), которая не содержит многих оформительских средств, привычных в математике — в частности, в ней нет надстрочных и подстрочных символов, многих диакритических знаков , многих специальных символов (знак корня, плюс-минус) и т. п. ^[66] Например, декартова запись возведения в степень оказалась очень удачной с алгебраической точки зрения, но отсутствие в ней явного знака операции вынуждает реализовывать это важное средство в языке программирования иным способом, причём в разных языках это делается по-разному (см. подробнее статью Возведение в степень ). Например, в Фортране $a^{b}$ $a^{b}$ кодируется как a ** b, в Бейсике — как a^b, а часть языков (например, Си или Паскаль) вообще не содержат символа операции возведения в степень и используют для этой цели библиотечные функции^[67].

Аналогичная ситуация с другими практически важными символами: индексы элементов массива (обычно заключаются в квадратные или круглые скобки), операция получения остатка от деления нацело целых чисел, логические и битовые операции и т. п. Отсутствие унификации таких обозначений, несмотря на появление международных стандартов ISO 31-11 и ISO 80000-2, пока что является общей практикой.

История отдельных символов

Алгебра

Объекты

$0123456789$

Для обозначения цифр в странах с иероглифической письменностью (Древний Египет, Китай) использовались особые иероглифы, а в странах с фонетическим алфавитом для этого вначале обычно использовались буквы, часто со специальной пометкой. Построенные таким образом римские цифры иногда используются до сих пор. В Индии с VI века до н. э. были введены особые знаки для каждой цифры от 1 до 9. Несколько видоизменившись, эти знаки стали современными цифрами^[68].

От индийских знаков, показанных в нижней строке (начертание I века н. э.), произошли современные цифры

В связи с изобретением десятичной позиционной системы записи чисел (около 500 года н. э.) понадобился новый знак для нуля. Первый код нуля, имеющий вид привычного нам кружка, в само́й Индии найден на надписи 876 года из Гвалиора^[69]. Более ранние надписи с изображением нуля обнаружены в Юго-Восточной Азии: относящаяся к 683 году надпись на каменной табличке из развалин храма времён древнекхмерского царства Ченла (по современному административному делению — округ в камбоджийской провинции Кратьэх), и датируемая тем же (или следующим) годом надпись из окрестностей Палембанга (Суматра, Индонезия), который в те времена был столицей древнемалайского царства Шривиджая; в первом случае нуль изображён как жирная точка, во втором — как маленький кружок^[70]^[71].

Учёные и любители предлагали десятки объяснений, почему цифры приняли именно такую форму; одна из таких гипотез известна в изложении А. С. Пушкина^[72]. Ф. Кэджори в результате анализа этих объяснений приходит к выводу, что все они представляют собой псевдонаучные фантазии^[73].

$\ {\frac {7}{12}}$

«Двухэтажная» запись обыкновенной дроби использовалась ещё древнегреческими математиками, хотя знаменатель они записывали над числителем, а черты дроби не было. Индийские математики переместили числитель наверх; через арабов этот формат переняли в Европе. Дробную черту впервые в Европе ввёл Леонардо Пизанский (1202), но в обиход она вошла только при поддержке Иоганна Видмана (1489)^[14].

$3{,}62$

Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань)^[74]. Персидский математик Джамшид аль-Каши объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше^[75]. В Европе первоначально десятичные дроби записывали как целые числа в некотором оговоренном масштабе. Первые десятичные дроби в Европе описал Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585)^[76]. Для наглядности (а также из-за отсутствия общепризнанного десятичного разделителя) Стевин указывал явно номер каждого десятичного разряда — например, число $0{,}3759$ он изображал в следующем виде: $3^{(1)}7^{(2)}5^{(3)}9^{(4)}$ . Столь сложное оформление нашло немногих последователей (например, Озанама), большинство математиков сочло его излишним^[77].

Десятичная запятая, отделяющая дробную часть числа от целой, введена итальянским астрономом Дж. А. Маджини (1592) и Непером (1617, впрочем, Непер использовал и точку). Ранее вместо запятой ставили иные символы — Виет использовал вертикальную черту: 3|62 или записывал дробную часть более мелкими цифрами^[78]; среди других вариантов — ноль в скобках: 3 (0) 62 или двоеточие. Некоторые авторы, следуя аль-Каши, употребляли чернила разного цвета^[14]^[79]. В Англии вместо запятой предпочли использовать предложенную Клавиусом в 1593 году точку, которую ставили посередине строки; эту традицию переняли в США, однако сдвинули точку вниз, чтобы не путать её со знаком умножения Лейбница^[80]. Отсутствие унификации символа десятичного разделителя вызвало появление в XVIII—XIX веках множества новых предложений, ни одно из которых не стало общепринятым^[81]. Новым фактором во второй половине XX века стало то, что запись числовых констант в большинстве языков программирования допускает в качестве разделителя только англо-американскую точку.

$706.510.941{,}252$

Группировка цифр длинных чисел удобна для их быстрой оценки и сравнения. Рекомендацию на этот счёт сделал уже Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в первом издании своей «Книги абака» (1202); он советовал помечать сотни, сотни тысяч и т. д. штрихом сверху, и одновременно помечать тысячи, миллионы и т. д. штрихом снизу. Во втором издании «Книги абака» (1228) Фибоначчи дал другую рекомендацию: помечать тройки цифр скобкой сверху^[82], например: ${\widehat {678}}\ {\widehat {935}}\ {\widehat {784}}\ {\widehat {105}}\ 296.$

В XIII веке Сакробоско предложил отделять тысячи точками. Лука Пачоли и часть немецких математиков вместо разделительных точек использовали подстрочные, причём число точек соответствовало номеру группы цифр, а Отред употреблял вертикальные чёрточки. В конце концов в большинстве стран победила простая схема Сакробоско, только в Великобритании и США, где точка является десятичным разделителем, она заменена на запятую^[82]. В печатных изданиях, по рекомендациям Международного бюро мер и весов и ISO^[83]^[84], преобладает нейтральный вариант, восходящий к Пачоли, в котором тройки цифр разделяются неразрывными пробелами: 678 935 784 105 296.

Один из вариантов записи чисел со знаком, предложенный в XVIII веке; в современной записи:

-4+6=2

$-273$

С признанием практической ценности отрицательных чисел встал вопрос о способе их записи. Николя Шюке в 1484 году предложил ставить перед ними обозначение ${\tilde {m}},$ использовавшееся тогда как знак вычитания. С появлением современных символов плюса и минуса (1489) многие математики стали ставить перед отрицательными числами минус, но часть математиков запротестовала, указывая, что не следует использовать один и тот же символ и как знак числа, и как знак операции вычитания, тем более что минус в роли знака числа легко спутать с тире. Предлагались проекты другой символики для знака числа, например, уголки или изображение убывающей/растущей Луны (см. рисунок). Фаркаш Бойяи предложил использовать для знаков чисел плюс и минус, но выделять их особым начертанием (его плюс походил на мальтийский крест). Всё же двойное употребление минуса закрепилось в науке^[85] ^[86].

$x,\ y,\ z$
$a,\ b,\ c$

Особые знаки (только для неизвестных величин) использовали ещё вавилонские математики, а среди античных греков — Диофант. Виет первым предложил записывать законы и формулы арифметики в общем, символическом виде, заменяя конкретные числа (не только неизвестные, но и разного рода коэффициенты) буквами (1591 год). Виет обозначал неизвестные величины заглавными буквами гласных (A, E, I, O, U, Y), а известные — заглавными согласными^[87].

Другие математики (в частности, Иоганн Ран) предлагали использовать в тех же целях различие заглавных и строчных букв. Декарт в 1637 году предложил более удобную систему: для неизвестных величин используются последние буквы алфавита (x, y, z), а для известных — первые (a, b, c…), причём не заглавные, а строчные. Ту же тройку $x,y,z$ Декарт использовал в качестве символов координат при построении графиков; сам Декарт, впрочем, ограничился плоскими кривыми, активное использование пространственных координат начал позднее Клеро. Это соглашение укоренилось в науке. О причинах выбора Декартом именно букв x, y, z для неизвестных высказывалось множество догадок, ничем, однако, не подтверждённых^[88]^[89].

${\boldsymbol {i}}$

Букву i как код мнимой единицы: $i={\sqrt {-1}}$ предложил Эйлер в статье De formulis differentialibus secundi gradus, quae integrationem admittunt; статья, написанная в 1777 году, была опубликована (посмертно) в 1794-м. По общему мнению, Эйлер взял для символа мнимой единицы первую букву латинского слова imaginarius (мнимый)^[52]. Символ был поддержан Гауссом («Арифметические исследования», 1801) и быстро стал общепринятым, хотя многие математики ещё долго продолжали употреблять явную запись радикала: ${\sqrt {-1}}.$ Некоторое недоразумение возникло, когда физики стали обозначать буквой $i$ величину электрического тока; вскоре в электродинамике переменного тока обнаружилась надобность в комплексных числах (для описания колебаний), и во избежание путаницы физики стали обозначать мнимую единицу буквой $j$ ^[90].

0123456789ABCDEF

Необходимость в обозначениях шестнадцатеричных цифр возникла в 1950-е годы, когда появились ЭВМ с восьмибитовым явно адресуемым байтом; его содержимое было наиболее удобно изображать в виде двух шестнадцатеричных цифр. Для обозначения цифр от 0 до 9 использовались те же символы, что и в десятичной системе, а для шестнадцатеричных цифр от 10 до 15 предлагались разные варианты — цифры от 0 до 5 с чёрточкой (макроном) сверху, буквы от U до Z (компьютеры Bendix G-15, 1956); современная кодировка буквами от A до F появилась в серии IBM System/360 (1964)^[91].

Операции

Первое печатное появление знаков «плюс» и «минус». Страница из книги Иоганна Видмана (1489)

${\boldsymbol {+\;-}}$

Знаки плюса и минуса придумали, по-видимому, в немецкой математической школе «коссистов» (то есть алгебраистов). Они используются в учебнике Иоганна Видмана «Быстрый и приятный счёт для всех торговцев» (нем. Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft), изданном в 1489 году. До этого сложение обозначалось буквой p (plus) или латинским словом et (союз «и»), а вычитание — буквой m (minus), сверху эти буквы часто помечались тильдой. У Видмана символ плюса заменяет не только сложение, но и союз «и». Происхождение этих символов неясно, но, скорее всего, они ранее использовались в торговом деле как признаки купли и продажи. Некоторые математики XVI—XVII веков использовали латинский или мальтийский крест как вариации плюса, а вместо минуса предлагали тильду или обелюс. Тем не менее плюс и минус получили общее распространение в Европе — за исключением Италии, которая ещё около века использовала старые обозначения,^[92]^[93]^[94].

${\boldsymbol {\times \;\cdot }}$

Знак умножения в виде косого крестика ввёл в 1631 году Уильям Отред (Англия). До него использовали чаще всего букву M, предложенную в 1545 году Михаэлем Штифелем и поддержанную Стевином. Позднее предлагались и другие обозначения: латинское слово in (Франсуа Виет), символ прямоугольника $\Box$ в начале произведения и запятую в конце (Эригон, 1634), звёздочка (Иоганн Ран, 1659), буква x (Валлис, 1655, возможно, это типографская ошибка, так как на одной странице у Валлиса встречаются и буква x, и крестик)^[36]^[79]^[95].

Причиной выбора косого крестика в качестве знака умножения стала, скорее всего, распространённая в те годы схема перекрёстного умножения коротких чисел^[96]; это тем более вероятно, что до Отреда косой крестик использовался для обозначения других операций, связанных с разного рода перекрёстными вычислениями^[97].

Лейбниц, поэкспериментировав с несколькими разными символами, в конце концов решил заменить крестик на точку (конец XVII века), чтобы не путать его с буквой x; до него такая символика встречалась у Региомонтана (XV век) и Томаса Хэрриота. Многие математики, начиная с Диофанта, вместо знака умножения просто записывали операнды подряд: $ab=a\cdot b;$ особенно удобной эта компактная запись оказалась для преобразования буквенных выражений^[95]^[36].

${\boldsymbol {/\;:\;\div }}$

Герон, Диофант и исламские авторы в качестве знака деления использовали горизонтальную черту дроби. В средневековой Европе деление часто обозначали буквой D. Отред предпочитал косую черту или (иногда) знак правой круглой скобки, последняя встречается и у Штифеля: конструкции $8)24$ или $8)24($ означали деление $24$ на $8.$ Двоеточием деление стал обозначать с 1684 года Лейбниц^[98].

В Англии и США получил распространение символ $\div$ (обелюс), который предложил в 1659 году Иоганн Ран (возможно, при участии Джона Пелла, ранее Жирар использовал этот символ как синоним минуса)^[99]^[100]. Попытка Американского национального комитета по математическим стандартам (англ. National Committee on Mathematical Requirements) вывести обелюс из практики (1923) оказалась безрезультатной^[101].

$([\{\}])$

Появление квадратных скобок у Бомбелли; записано выражение:

{\sqrt {7+{\sqrt {14}}}}

Круглые скобки появились у Тартальи (1556) для подкоренного выражения, позднее они были поддержаны Клавиусом и Жираром^[28]^[102]. Бомбелли (1560) использовал в качестве начальной скобки уголок в виде буквы L, а в качестве конечной — его же, отражённого относительно вертикали (см. рисунок)^{[C 1]}; такая запись стала прародителем квадратных скобок. Фигурные скобки предложил Виет (1593)^[28].

Большинство математиков до XVIII века (включая Ньютона) предпочитали вместо скобок надчёркивать (или подчёркивать) выделяемое выражение. Поскольку это усложняло типографский набор, появились и другие способы. Валлис (1655) вместо скобок использовал двоеточия или двоеточие в начале и точку в конце выражения, например: ${\sqrt {}}:ad-a^{2}:$ вместо современного ${\sqrt {ad-a^{2}}}.$ Предлагались также различные ограничительные конструкции из точек или запятых, неудобные уже потому, что эти символы широко использовались в иных целях. В общее употребление скобки ввели Лейбниц (примерно с 1708 года) и Эйлер^[103]^[104].

${\boldsymbol {\pm }}$

Знак плюс-минус появился у Жирара (1626) и Отреда. Жирар сформировал этот символ следующим образом^[34]: знак плюс, под ним слово «или» (фр. ou), а ещё ниже — минус: ${\boldsymbol {{\underset {-}{\overset {+}{\operatorname {\scriptscriptstyle ou} }}}\ \ }}.$ Ньютон предложил собственный символ: $\perp$ («половина плюса»), не получивший распространения^[105].

${\boldsymbol {a^{n}}}\ {\boldsymbol {a^{x}}}$

Возведение в степень. В Европе сначала степень записывали словесными сокращениями (q или Q обозначало квадрат, c или C — куб, bq или qq — биквадрат, то есть 4-я степень и т. д.) или как произведение — например, $x^{4}$ изображалось как $xxxx.$ Отред записывал $x^{5}-15x^{4}$ следующим образом: $1qc-15qq$ (если неизвестная всего одна, ей часто не присваивался буквенный значок)^[106]. Немецкая школа коссистов для каждой степени неизвестной предлагала особый готический значок.

В XVII веке постепенно стала преобладать идея явно указывать показатель степени. Жирар (1629 год) для возведения в степень числа ставил показатель в круглых скобках перед этим числом, а если числа правее показателя не было, то это значило, что подразумевается наличие неизвестного в указанной степени^[100]; например, $(2)2+1(2)$ у него означало $2^{2}+x^{2}$ . Варианты размещения показателя степени предлагали Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали $x^{4}$ в виде $x4$ и $x^{IV}$ соответственно^[39].

Современная запись показателя степени — правее и выше основания — введена Декартом в его «Геометрии» (1637), правда, только для натуральных степеней, больших 2 (возведение в квадрат ещё долгое время обозначалось по-старому, произведением). Позднее Валлис и Ньютон (1676) распространили декартову форму записи степени на отрицательные и дробные показатели, трактовка которых к этому времени уже была известна из трудов Орема, Шюке, Стевина, Жирара и самого Валлиса. К началу XVIII столетия альтернативы для записи степеней «по Декарту», как выразился Ньютон в «Универсальной арифметике», «вышли из моды» (out of fashion). Показательная функция, то есть возведение в переменную степень, появилась сначала в письмах, а потом и в трудах Лейбница (1679). Возведение в мнимую степень обосновал Эйлер (1743)^[39]^[107]^[108].

Символика Кардано (1585): записано равенство

(5+{\sqrt {-15}})

\times (5-{\sqrt {-15}})

=25-(-15)=40

${\boldsymbol {\sqrt {x}}}$

Средневековые математики (например, Пачоли и Кардано) обозначали квадратный корень символом $R$ или стилизованной комбинацией $R_{x}$ (от лат. Radix, корень)^[109]. Некоторую путаницу вносило то, что в XVI веке сокращения $R$ и $R_{x}$ часто обозначали не только квадратный корень, но и корень уравнения, то есть искомое значение неизвестной; тем не менее эти обозначения были в употреблении у некоторых итальянских и испанских математиков до конца XVII века^[110].

Современное обозначение знака корня впервые употребил в 1525 году немецкий математик Кристоф Рудольф из школы коссистов^[28]. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова radix. Черта над подкоренным выражением (vinculum) вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня^[35].

${\boldsymbol {\sqrt[{3}]{x}}}$

Кубический корень в XVI веке мог обозначаться следующим образом: R_x.u.cu (от лат. Radix universalis cubica), были и другие варианты^[109]. С появлением современного знака радикала корни степени выше второй некоторое время обозначалась замысловатыми зигзагами, состоящими из «склеенных» соответствующее число раз знаков радикала, или пометкой после радикала — например, ${\sqrt[{3}]{x}}$ мог обозначаться ${\sqrt {Cx}}$ , где буква С означала «кубический», или ${\sqrt {3:x}}.$ Современное обозначение корня произвольной степени с показателем слева вверху начал использовать Альбер Жирар (1629). Закрепился этот формат благодаря Ньютону и Лейбницу^[35]^[111].

${\boldsymbol {\Sigma }}$

Знак суммы ввёл Эйлер в 1755 году^[53].

${\boldsymbol {\Pi }}$

Знак произведения ввёл Гаусс в 1812 году^[56].

$|x|$

Обозначение для абсолютной величины и для модуля комплексного числа появились у Вейерштрасса в 1841 году. В 1903 году Лоренц использовал эту же символику для длины вектора^[112].

Отношения

Первое печатное появление знака равенства: записано уравнение

14x+15=71

${\boldsymbol {=}}$

В качестве знака равенства математики предлагали самые разные обозначения: подстрочное тире, пробел, слово est, сокращения слова «равно» (aequantur, faciunt) и т. п. Современный символ предложил Роберт Рекорд в 1557 году; начертание символа было намного длиннее нынешнего. Автор пояснил, что нет в мире ничего более равного, чем два параллельных отрезка одинаковой длины. Первоначально размер символа Рекорда был переменным — знак могли удлинять, чтобы записанный после него результат попал в нужную колонку на листе с расчётом^[57]^[113].

Некоторое время распространению символа Рекорда мешало то обстоятельство, что с античных времён такой же символ использовался для обозначения параллельности прямых; в конце концов было решено символ параллельности сделать вертикальным. В Англии в 1630-е годы символ Рекорда приняли почти все крупные математики, от Хэрриота до Ньютона, но Виет и Жирар этот же символ использовали вместо минуса, а Декарт — как признак, что переменная может иметь любой знак. Декарт предложил для равенства другой символ, напоминающий появившийся в тот же период символ бесконечности Валлиса: $\infty .$ Довольно экзотический знак равенства из трёх символов: $2|2$ отстаивал Эригон (1644); он же предложил ещё один вариант знака: ${\mathcal {t}}$ . Всё это отдалило унификацию столь важного символа; тем не менее во второй половине XVII века символ Рекорда начал вытеснять конкурентов и в континентальной Европе^[113] (решающее значение получила поддержка Лейбница и братьев Бернулли) и окончательно утвердился в течение XVIII века^[114].

Многие языки программирования используют знак равенства в качестве символа оператора присваивания.

$\approx$

Знак «приблизительно равно» придумал немецкий математик Зигмунд Гюнтер в 1882 году^[57]^[115]. Похожий по смыслу и по начертанию символ $\cong ,$ состоящий из знака равенства и тильды над ним, использовал ранее (1777) ^[116].

$\neq$

Знак «не равно» впервые встречается, вероятно, у Эйлера; во всяком случае, он это обозначение активно использовал^[54].

$\equiv$

Автор знака «тождественно равно» — Бернхард Риман (1857). Этот же символ, по предложению Гаусса, используется в теории чисел как знак сравнения по модулю, а в логике — как знак операции эквивалентности^[117].

$<\ \ >$

Знаки сравнения ввёл Томас Хэрриот в своём сочинении, изданном посмертно в 1631 году. До него писали словами: больше, меньше^[32]^[53].

$\leqslant \ \ \geqslant$

Символы нестрогого сравнения первым предложил Валлис в 1670 году. Первоначально черта была выше знака сравнения, а не под ним, как сейчас. Общее распространение эти символы получили после поддержки французского физика Пьера Бугера (1734), у которого они приобрели современный вид^[32].

$A:B=C:D$

Обозначений для пропорции предлагалось множество — Декарт использовал запись $a|b||c|d,$ Отред писал $A.B::C.D$ и др. В конечном счёте победу одержала современная символика, предложенная Лейбницем в 1708 году^[118].

$\ll \;\gg$

Эти обозначения были введены Анри Пуанкаре и Эмилем Борелем (1901) и использовались для указания, что один ряд мажорируется другим. Иногда они используются в этом узком смысле и сейчас, но чаще означают «много меньше» и «много больше»^[32].

Геометрия

$\angle \ \ \perp$

Символы «угол» и «перпендикулярно» придумал в 1634 году французский математик Пьер Эригон. Символ угла у Эригона напоминал значок $<$ ; современную форму, во избежание путаницы с ранее введенным знаком «меньше», ему придали английские математики Сет Уорд (1654) и Уильям Отред (1657). Прямой угол нередко обозначался буквой d (от фр. droit ‘прямой’)^[119]^[43].

$\|$

Символ параллельности известен с античных времён, его использовали Герон и Папп Александрийский. Сначала этот символ выглядел как нынешний знак равенства, но с появлением последнего — во избежание путаницы — Отред (1677), Керси (1673) и другие математики XVII века придали образующим символ линиям вертикальное направление^[37]^[120].

$30^{\circ }40'50''$

Современные обозначения угловых единиц (градусы, минуты, секунды) встречаются ещё в «Альмагесте» Птолемея, однако в средневековой Европе вместо них писали словами: gradus, minutes, secundae (полностью или сокращённо). Вновь символ градуса использовал в 1568 году французский математик и поэт Жак Пелетье; в следующем десятилетии Эразм Рейнгольд, Тихо Браге и Хуан Карамуэль уже используют все три угловых обозначения, после чего эти знаки быстро вошли в общее употребление^[121].

Радианную меру углов, более удобную для анализа, предложил в 1714 году английский математик Роджер Котс. Сам термин радиан придумал в 1873 году Джеймс Томсон, брат известного физика лорда Кельвина. Некоторые авторы предлагали помечать радианные значения буквами $\rho$ или надстрочной $R,$ но эти предложения не нашли поддержки, хотя в трудах по геодезии буква $\rho$ иногда используется^[121].

${\widehat {ab}},{\widehat {abc}}$

Общепринятые ныне обозначения дуг окружности или иной кривой впервые в Европе использовал в своём «Трактате о геометрии» еврейский математик XII века Авраам бар-Хия (Савасорда); этот труд сразу перевёл на латинский Платон из Тиволи^[43].

$\pi$

Джон Валлис использовал для отношения длины окружности к диаметру символ квадрата $\Box$ (намекая на квадратуру круга) или еврейскую букву מ («мем»), тоже похожую на квадрат. Уильям Отред и Исаак Барроу обозначали это число следующим образом: $\pi /\delta$ : здесь $\pi$ обозначает первую букву греческого слова περιφέρεια, ‘окружность’, $\delta$ — аналогично для диаметра, так что вся запись есть сокращение для «отношения длины окружности к диаметру»^[122].

Общепринятое обозначение $\pi$ впервые образовал Уильям Джонс в своём трактате «Synopsis Palmariorum Matheseos» (1706 год), он также имел в виду первую букву греческого названия окружности. Это же сокращение позднее решил использовать Эйлер (в ранних трудах он колебался между буквами c и p). Труды Эйлера в 1740-е годы закрепили обозначение окончательно^[44].

$\sim \ \cong$

Символы для обозначения подобия или конгруэнтности геометрических фигур предложил Лейбниц в начале XVIII века. У символа конгруэнтности Лейбница, в отличие от современного, была только одна прямая чёрточка под тильдой; современная форма появилась позже сразу у нескольких математиков^[45].

$\phi$

Обозначение $\phi$ для отношения золотого сечения (используют также начертание $\varphi$ ) предложил американский математик Марк Барр (около 1909). Обозначение восходит к первой букве имени древнегреческого скульптора Фидия (др.-греч. Φειδίας), который, по утверждениям некоторых историков архитектуры, систематически использовал золотое сечение в своих творениях (эти утверждения в настоящее время поставлены под сомнение). В профессиональной математической литературе данное отношение часто обозначают $\tau$ (от греч. τομή ‘сечение’)^[123]^[124].

Теория чисел

$a\equiv b{\pmod {m}}$

Символику сравнения по модулю разработал Гаусс, опубликована в 1801 году в его «Арифметических исследованиях». Педантичный Гаусс ставил после кода «mod» точку, поскольку это сокращение от лат. modulo, но его последователи сочли точку излишней^[125].

$a\mid b$

Вертикальную черту как символ отношения « $a$ делит $b$ » (или, что то же, « $b$ делится на $a$ ») впервые предложил Эдмунд Ландау в книге «Элементарная теория чисел» (1927); ранее этот символ иногда использовал Годфри Харолд Харди в неопубликованных материалах своего семинара^[126].

$\varphi (n)$

Функция Эйлера, играющая важнейшую роль в теории чисел и общей алгебре, появилась у Эйлера в 1760 году, он тогда обозначил её $\pi D,$ современное обозначение предложил Гаусс (1801)^[127].

$n!\$

Компактное обозначение для факториала предложил Кристиан Крамп (1808); ранее Эйлер пользовался^[128] символом $[n],$ а у Гаусса, Якоби и других встречались^[129] обозначения $\Pi (n)$ и $\Pi _{n}$ .

$[x]$

Символ «целая часть» ввёл Гаусс в 1808 году. Некоторые математики предпочитают использовать вместо него обозначение E(x), предложенное в 1798 году Лежандром^[130].

$\lfloor x\rfloor ,\;\lceil x\rceil$

Две пары символов-уголков, означающие округление вещественного числа до целого в меньшую или бо́льшую сторону соответственно, ввёл Кеннет Айверсон в 1962 году^[131].

$\left({\frac {a}{p}}\right)$

Лежандр ввёл для простого числа $p$ символ, получивший его имя, в своей монографии по теории чисел (1791). Аналогичный по начертанию, но определённый для любого нечётного числа символ опубликовал Якоби (1837)^[132].

Функции

$f(x)$

Первые общие обозначения функций использовал Иоганн Бернулли в 1718 году. Долгое время математики задавали аргументы без скобок: $fx$ , скобки использовались только в случае многих аргументов, а также если аргумент представлял собой сложное выражение. Отголоском тех времён являются употребительные и сейчас записи $\sin x,\lg x$ и др. Но постепенно (у Эйлера — с 1734 года, у Даламбера — с 1754-го) использование скобок стало общим правилом^[133] ^[134] ^[135].

Элементарные функции

$\log _{a}b,\;\lg ,\;\ln$

Сокращения $\log ,\operatorname {Log} ,\operatorname {L}$ появились ещё в XVII веке, однако до конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было — основание ɑ указывалось то левее и выше символа $\log$ , то над ним. В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания — ниже строки, после символа $\log$ . Символ $\ln$ для натурального логарифма впервые появляется у Ирвинга Стрингхема (1893)^[136].

$\sin ,\operatorname {tg} \ (\tan ),\sec$

Первым сокращённые обозначения для синуса, тангенса и секанса предложил Томас Финке (1583), который писал: sin., tan., sec. Обозначения этих же функций без точки ввёл Уильям Отред (1632); впрочем, многие авторы вплоть до середины XIX века продолжали ставить точку при обозначениях тригонометрических функций^[137]^[138]. Леонард Эйлер в 1748 году использует написание с точкой (sin., tang., sec), а в 1753 году от точки отказывается (причём наряду с tang у него появляется и обозначение tg, используемое в русскоязычной литературе)^[139].

$\cos ,\operatorname {ctg} \ (\cot ),\operatorname {cosec} \ (\csc )$

Финке обозначал косинус, котангенс и косеканс через sin. com., tan. com., sec. com (где com — сокращение для лат. complement ‘дополнение’). Среди многочисленных обозначений, предлагавшихся позднее различными авторами, находим у (1674) Cos и Cot., а у в его изданном в 1696 трактате — cos., cot., cosec. Написание cos (без точки) встречается у Эйлера в 1729 году (систематически — с 1753 года); Авраам Кестнер (1758) последовательно применяет обозначения cos, cot, cosec^[138]^[140]. Согласно Ф. Кэджори, используемое в современной западной литературе обозначение csc для косеканса появляется в «Трактате по тригонометрии» Оливера, Уэйта и Джонса (1881), а закрепившееся в русскоязычной литературе обозначение ctg для котангенса впервые встречается у Артура Шёнфлиса (1886)^[141].

$\arcsin$

Манера обозначать обратные тригонометрические функции с помощью приставки arc- (от лат. arcus ‘дуга’) появилась у австрийского математика Карла Шерфера (нем. Karl Scherffer; 1716—1783) и закрепилась благодаря Лагранжу. Имелось в виду, что, например, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: $\sin ^{-1},{\frac {1}{\sin }}$ , но они не прижились^[142].

$\operatorname {sh} \ (\sinh ),\operatorname {ch} \ (\cosh )$

Гиперболический синус и косинус были введены в употребление Винченцо Риккати (1757), обозначавшим их Sh и Ch. Современный вариант записи (sh и ch), а также th для гиперболического тангенса мы находим у Уильяма Клиффорда (1878). Распространённые в англоязычных странах обозначения sinh и cosh восходят к Иоганну Ламберту (1768)^[143]. Среди других предлагавшихся обозначений были также sinhyp и coshyp (которые использованы, например, в энциклопедии Брокгауза и Ефрона); ныне эти два обозначения вышли из употребления^[144].

$\operatorname {sgn} (x)$

Полезную во многих случаях функцию sgn(x) (от лат. signum ‘знак’) начал использовать в своих лекциях Кронекер (1884), но с другим обозначением: [x]. Современный символ sgn ввёл Пеано (1908)^[145]^[146].

Специальные функции

$\Gamma (a),\operatorname {\mathrm {B} } (a,b)$

Современные обозначения $\Gamma (a)$ и $\operatorname {\mathrm {B} } (a,b)$ для введённых Эйлером (соответственно, в 1729 и 1730 году) эйлеровых интегралов 2-го и 1-го рода предложены: Адриеном Мари Лежандром (1811) для интеграла 2-го рода и Жаком Филиппом Мари Бине (1839) для интеграла 1-го рода. После этого получили широкое распространение термины «Гамма-функция» и «Бета-функция»^[147]^[148].

$\mathrm {li} ,\mathrm {Si} ,\mathrm {Ci} ,\mathrm {Ei}$

Автором обозначения li для интегрального логарифма является Иоганн фон Зольднер (1809). В 1843 году Карл Антон Бретшнайдер ввёл si и ci для интегрального синуса и интегрального косинуса. Оскар Шлёмильх (1846) видоизменил данные обозначения в Si и Ci, а также ввёл обозначение Ei для интегральной показательной функции^[149].

$\operatorname {\zeta } (s)$

Обозначение $\operatorname {\zeta } (s)$ для дзета-функции Римана (изучавшейся ещё Эйлером, а позднее П. Л. Чебышёвым), которая играет важнейшую роль в теории чисел, предложил Бернхард Риман в 1857 году^[150].

$F(\varphi ,k),\;\,E(\varphi ,k),\;\,\Pi (\varphi ,n,k)$

Обозначения $F(\varphi ,k),$ $E(\varphi ,k),$ $\Pi (\varphi ,n,k)$ для эллиптических интегралов 1-го, 2-го и 3-го рода (неполных) в нормальной форме Лежандра введены, по существу, самим Лежандром (1825); единственное отличие его нотации от современной — в том, что модуль эллиптического интеграла он обозначал через $c$ (современное обозначение $k$ впервые применил Карл Якоби в 1829 году), а переменную $\varphi$ в списке аргументов ставил на последнее место^[151].

$\operatorname {am} u$

Понятие об амплитуде эллиптического интеграла как о функции, обратной для эллиптического интеграла 1-го рода, и обозначение $\varphi =\operatorname {am} u$ для неё ввёл Карл Якоби (1829)^[152].

$\operatorname {sn} u,\;\operatorname {cn} u,\;\operatorname {dn} u$

Основные эллиптические функции Якоби — синус амплитуды sn, косинус амплитуды cn и дельта амплитуды dn — ввёл Якоби (1829), обозначавший их как sin am u, cos am u и Δ am u (буква Δ заменяет выражение ${\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }},$ что предложил ещё Лежандр в 1825 году). Более компактные обозначения sn, cn и dn введены Кристофом Гудерманом (1838). В 1882 году Джеймс Глейшер ввёл обозначения ещё для девяти эллиптических функций: ns, nc, nd, cs, ds, dc, sc, sd и cd^[153].

$\vartheta _{0}(v),\;\dots ,\;\vartheta _{3}(v)$

Для эффективного вычисления эллиптических функций Якоби предложил выражать их как отношения , для которых он получил представления в виде быстро сходящихся функциональных рядов. Якоби первоначально обозначал тета-функции $\operatorname {\Theta } (v),$ $\operatorname {\mathrm {H} } (v),$ $\operatorname {\mathrm {H} _{1}} (v),$ $\operatorname {\Theta _{1}} (v);$ в 1862 году Карл Вейерштрасс, модифицировавший определения Якоби, ввёл современные обозначения $\vartheta _{0}(v),\;\dots ,\;\vartheta _{3}(v)$ ^[153].

$\wp (z),\;\operatorname {\zeta } (z),\;\operatorname {\sigma } (z)$

Эллиптическую функцию Вейерштрасса $\wp (z)$ (читается: «пэ-функция»; здесь $\wp$ — знак Вейерштрасса, представляющий собой стилизованную букву P) и тесно связанные с ней дзета-функцию Вейерштрасса $\operatorname {\zeta } (z)$ и сигма-функцию Вейерштрасса $\operatorname {\sigma } (z)$ ввёл (вместе с соответствующими обозначениями) Карл Вейерштрасс, который положил их в основу своей общей теории эллиптических функций, излагавшейся им с 1862 года на лекциях в Берлинском университете^[154].

$J_{\nu }(x),\;Y_{\nu }(x),\;H_{\nu }^{(1)}(x),\;H_{\nu }^{(2)}(x)$

Ставшее ныне общепринятым обозначение $J_{\nu }(x)$ для функций Бесселя 1-го рода впервые встречается у Айзека Тодхантера (1875)^[155]. Обозначение $Y_{\nu }(x)$ для функций Бесселя 2-го рода (функций Вебера) ввёл Герман Ганкель (1869), а обозначения $H_{\nu }^{(1)}(x)$ и $H_{\nu }^{(2)}(x)$ для функций Бесселя 3-го рода (функций Ганкеля) принадлежат (1902)^[156].

$I_{\nu }(x),\;K_{\nu }(x)$

Обозначение $I_{\nu }(x)$ для модифицированных функций Бесселя 1-го рода предложил (1886), а для модифицированных функций Бесселя 2-го рода (функций Макдональда) сохраняется обозначение $K_{\nu }(x),$ под которым их в 1899 году ввёл Гектор Макдональд^[156].

$\operatorname {Ai} (x),\;\operatorname {Bi} (x)$

Обозначение Ai для функции Эйри 1-го рода предложил в 1828 году Гарольд Джеффрис^[157]; он использовал первые две буквы фамилии Джорджа Эйри (англ. George Airy), который в 1838 году впервые исследовал уравнение Эйри^[158]. В 1946 году добавил обозначение Bi для функции Эйри 2-го рода, также ставшее стандартным^[159].

$B_{i,m}(x)$

Обозначение $B_{i,m}(x)$ читается как «B-сплайн степени m с номером i» (предполагается, что этот сплайн построен по узлам X_i, …, X_i+m+1 некоторой сетки). Общее определение B-сплайнов для сетки с произвольно распределёнными узлами дано Хаскеллом Карри и Исааком Шёнбергом (1947), которые в своей статье^[160] назвали их «базисными сплайнами» и использовали букву N вместо B. Сам термин «B-сплайн» введён Шёнбергом в 1967 году, после чего изменилось и обозначение^[161]^[162]^[163].

$\operatorname {up} (x)$

Функция up (читается «ап-функция»), которая стала исторически первым и важнейшим примером атомарных функций (представляющих собой бесконечно дифференцируемые аналоги полиномиальных сплайнов^[164]), введена с данным обозначением в 1971 году в статье^[165] В. Л. Рвачёва и В. А. Рвачёва^[166]^[167].

$\delta (x)$

Дельта-функция Дирака δ(x), ставшая первым примером обобщённой функции, введена Полем Дираком в его статьях^[168]^[169] 1927 года^[170]^[171]. Впрочем, ясное представление об этой функции и её основных свойствах имел уже Хевисайд (1893), у которого она появилась как производная от единичной функции Хевисайда, но специального обозначения не получила^[172].

Линейная алгебра

${\bar {a}},{\vec {a}},\mathbf {a} ,{\mathfrak {A}},{\mathfrak {a}}$

Понятие вектора ввёл в науку в 1847 году^[173] Уильям Роуэн Гамильтон в рамках своей теории кватернионов (назвав вектором кватернион с нулевой скалярной частью); он обозначал векторы греческими буквами, а скаляры — латинскими. Впрочем, ещё в 1803 году Лазар Карно пользовался понятием геометрического количества, понимая под ним в основном направленные отрезки и обозначая отрезок с началом в точке A и концом в точке B при помощи чёрточки наверху: AB; Август Фердинанд Мёбиус в 1827 году предложил представлять такой отрезок в виде разности B−A. Джеймс Клерк Максвелл предпочитал обозначать векторы готическими буквами, основоположники векторного анализа Оливер Хевисайд и Джозайя Уиллард Гиббс — жирным шрифтом. Почти все эти виды символики встречаются до сих пор, особенно часто используются жирный шрифт, чёрточка или стрелка над буквой^[59]^[174].

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\ \left[\mathbf {a} ,\mathbf {b} \right]$

Понятия и обозначения операций над векторами формировались в XIX веке многими математиками, и унификация обозначений до сих пор не достигнута. Грассман записывал векторное произведение в виде $\left[\mathbf {a} \mathbf {b} \right]$ (1844), а скалярное произведение обозначал $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ (1846) или $\left[\mathbf {a} |\mathbf {b} \right]$ (1862); последний вариант неожиданно возродился в XX веке в виде бра-кет символики, введённой Дираком (1939) и используемой в квантовой механике^[175]^[176]. Хевисайд предпочитал для скалярного произведения простейшую запись в виде $\mathbf {a} \mathbf {b} ,$ в то время как Гиббс между операндами скалярного произведения добавлял нижнюю точку, а векторное записывал как $\mathbf {a} \times \mathbf {b} .$ У Хендрика Лоренца скалярное и векторное произведения выглядели так: $\mathbf {a} .\mathbf {b}$ и $\left[\mathbf {a} .\mathbf {b} \right].$ Запись $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ впервые встречается у Олауса Хенрици (1903). Обозначения современных авторов чаще всего варьируют приведённые варианты^[175].

$\left\|{\bar {a}}\right\|$

Обозначение $\left\|{\bar {a}}\right\|$ для нормы вектора ${\bar {a}}$ впервые появилось у Эрхарда Шмидта (1908) в частном случае нормы в пространстве $\ell _{2}$ . Общее определение нормы в абстрактном векторном пространстве дал Стефан Банах в статье «Об операциях над абстрактными множествами…»^[177] (1922), где он также пользовался данным обозначением^[178].

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\ {\begin{Vmatrix}a&b\\c&d\end{Vmatrix}}\ {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}$

Окаймление матриц двумя вертикальными чёрточками ввёл Кэли около 1843 года; сейчас вместо них часто используются круглые или квадратные скобки. Определитель современные учебники заключают в одиночные чёрточки, также следуя Кэли. Круглые скобки для матриц первым, вероятно, употребил английский математик Каллис (Cuthbert Edmund Cullis) в 1913 году^[179]^[180].

$\Gamma _{ij}^{k}$ или $\{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}$

Символы Кристоффеля, лежащие в основе тензорного анализа и общей теории относительности, были введены Элвином Бруно Кристоффелем в статье 1869 года, где использовался формат записи $\{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}$ ; вариант $\Gamma _{ij}^{k}$ предложил в 1923 году Джордж Биркгоф^[181]^[182].

$\delta _{s_{1}\dots s_{n}}^{r_{1}\dots r_{n}}$

Символ Кронекера, играющий большую роль в тензорном исчислении, Кронекер определил для случае $n=1$ в статье 1866 года; в 1924 году Френсис Мурнаган описал его обобщение до тензора произвольного ранга^[182].

Математический анализ

$(a,b)\ [a,b]$

Обозначение интервала вещественных чисел впервые употребил в 1909 году немецкий математик ; если граничная точка включалась в интервал, то вместо круглых скобок использовались угловые. В 1921 году Ханс Хан заменил угловые скобки на квадратные, и эта символика укоренилась в науке^[63].

$e$

Стандартное обозначение числа Эйлера e = 2,7182818… впервые отмечено у Эйлера в неопубликованной рукописи 1728 года, вторично оно встречается в его «Механике» (1736 год) и во многих последующих трудах. Позднее были другие предложения: буква c (Д’Аламбер, 1747), $\epsilon$ (Август де Морган, 1842), а Бенджамин Пирс предложил для констант $e,\pi$ замысловатые значки, по форме напоминающие скрепку (1859); эти варианты не получили распространения^[183].

$\Delta x$

Обозначение приращения буквой $\Delta$ впервые употребили Иоганн Бернулли (который, впрочем, не проводил чёткого различия между приращением и дифференциалом) и Эйлер (1755)^[184]^[185].

$o,O$

Символы бесконечно малых использовал шотландский математик Джеймс Грегори. У него обозначение «о малое» перенял Ньютон^[186]. Заглавный вариант символа в современном значении («о большое») появился во втором томе книги Пауля Бахмана «Аналитическая теория чисел» (1894). Оба символа популяризировал Эдмунд Ландау в работе 1909 года^[187], в связи с чем их нередко называют «символы Ландау»^[188].

$dx\quad {\frac {dy}{dx}}\quad {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}$

Обозначения dx и dy для дифференциалов аргумента и функции введены Лейбницем в мемуаре «Новый метод максимумов и минимумов…»^[189] (1684), после чего естественным образом появилось и обозначение производной в виде отношения дифференциалов. В мемуаре «Ответ господину Бернарду Ньивентейту…»^[190] (1695) Лейбниц рассматривает и дифференциалы высших порядков, вводя для них вполне современные обозначения^[191]^[192].

${\dot {x}}$

Традиция обозначать производную по времени точкой над буквой идёт от Ньютона (1691)^[47].

$f'(x)$

Краткое обозначение производной штрихом восходит к Лагранжу, у которого базовым понятием анализа, в отличие от Лейбница, стал не дифференциал, а производная^[193].

${\frac {\partial }{\partial x}}$

До середины XVIII века запись символа частной производной ничем не выделялась. Эйлер в 1755 году предложил заключать частные производные в скобки; этот символизм имел некоторое распространение. Современное обозначение впервые встретилось в статьях Кондорсе (1770) и Лежандра (1786), однако не закрепилось даже у этих авторов. Лагранж пробовал различные варианты — например, индексировать производные: $F'_{1}$ или указывать в скобках, по какой переменной идёт дифференцирование: $F'(y),$ но эта символика была явно неудачной. В нескольких статьях Уильяма Гамильтона встречается близкий к современному символ ${\frac {\delta f}{\delta x}}$ . Общеупотребительной современную запись сделал Карл Якоби (1841)^[194].

$\int \ \iint \ \iiint$

В ранних заметках Лейбниц использовал в качестве символа интеграла обозначение omn. (от лат. de omnium, 'всего' — это сокращение было введено Кавальери для вычисления площадей «методом неделимых»). Современное обозначение интеграла, образованное Лейбницем от стилизованной начальной буквы слова «Сумма» (лат. Summa), впервые найдено в неопубликованной рукописи, датированной 29 октября 1675 года, а в печати оно появилось в мемуаре «О скрытой геометрии и анализе неделимых…» (1686); правда, типография для облегчения своей работы заменила в этой первой статье символ интеграла на букву ${\mathit {f}}$ . Иоганн Бернулли в переписке с Лейбницем вначале предлагал в качестве символа интеграла букву $I,$ но позже согласился принять знак Лейбница^[195]^[196]^[197]. В первых статьях Лейбниц часто надчёркивал выражения для интеграла и дифференциала, возможно, желая показать, что это целостные символы, но позднее отказался от этой практики^[198].

Двойной интеграл по произвольной плоской области ввёл Эйлер (1769), тройной (по объёму) вскоре начал использовать Лагранж^[199].

$\lim _{x\to a}f(x)\ \ \lim _{x\to a+0}f(x)\ \ \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}$

Символ предела появился в 1787 году у Симона Люилье в следующем формате: $\operatorname {lim.} x:a;$ это обозначение получило поддержку Коши (1821). Точка после lim вскоре исчезла^[55].

Близкое к современному обозначение ввёл Вейерштрасс, хотя вместо привычной нам стрелки он использовал знак равенства: $\operatorname {Lim} _{x=a}$ ^[200]. Стрелка появилась в начале XX века сразу у нескольких математиков^[201].

Обозначения для одностороннего предела первым предложил Дирихле (1837) в виде: $f(a+0),f(a-0).$ Мориц Паш (1887) ввёл другие важные понятия — верхнего и нижнего предела, которые записывал в виде: $\lim \sup$ и $\lim \inf$ соответственно. За рубежом эта символика стала стандартной, а в отечественной литературе преобладают другие обозначения: $\varlimsup _{n\to \infty }x_{n},\ \varliminf _{n\to \infty }x_{n},$ введенные Альфредом Прингсхаймом в 1898 году^[202].

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Оформление определённого интеграла в привычном нам виде придумал Фурье, который использовал его с 1816 года. До него пределы сначала указывались словесно; Эйлер в 1768 году записывал их после интеграла в квадратных скобках, в две строки (от/до)^[203]^[58].

$\oint$

Обозначение с кружком для криволинейного интеграла по замкнутому контуру предложил в 1923 году Крамерс^[199].

$f*g$

Обозначение свёртки функций при помощи звёздочки впервые предложил Вито Вольтерра в 1912 году на своих лекциях в Сорбонне (опубликованы годом позже)^[204].

Уравнения Максвелла, записанные с помощью наблы

$\nabla$

Символ этого дифференциального оператора придумал Уильям Роуэн Гамильтон (1853), а название «набла» предложил в шутку один из друзей шотландского математика Тэта, друга Гамильтона, заметив, что форма этого знака напоминает ассирийскую арфу с таким (древнегреческим) названием (1892). Используется также термин «оператор Гамильтона»^[205].

$\Delta$

Распространённый в математической физике символ оператора Лапласа («лапласиан») появился в 1833 году у английского физика и математика Роберта Мёрфи (Robert Murphy, 1806—1843)^[115]. До него вместо $\Delta \Phi$ иногда использовался предложенный Фурье^[206] символ $D\Phi .$

$\mathrm {grad} ,\mathrm {div} ,\mathrm {rot}$

Символика классических дифференциальных операторов векторного анализа формировалась постепенно на рубеже XIX—XX веков. Понятие градиента ввёл Уильям Гамильтон ещё в 1846 году, но название и общепринятое обозначение термина появилось около 1900 года в немецкой школе, возможно, благодаря Генриху Веберу. Понятия дивергенции и ротора введены Максвеллом в его работах по теории электромагнитного поля; термины и обозначения предложил Клиффорд (1878)^[207].

$\gamma \ C$

Постоянная Эйлера — Маскерони была введена в 1735 году Леонардом Эйлером. Эйлер обозначал её буквой $C$ , а Маскерони^[132] — $A;$ сейчас часто используется предложенное Бретшнайдером обозначение $\gamma ,$ поскольку эта константа связана с гамма-функцией^[208].

Математическая логика и теория множеств

В математической логике предложено большое число символов логических операций, причём различные авторы часто пользовались для одной и той же операции различными обозначениями. Значительно бо́льшая степень унификации характерна для символики теории множеств^[209].

$\land \ \&\ \lor$

Джордж Буль (1854) использовал для логических операций конъюнкции и дизъюнкции обычные знаки умножения и сложения. Близкие к современным обозначения $\land ,\ \lor$ предложил Джузеппе Пеано (1895); они были по сравнению с ныне употребляемыми вариантами более «сглаженными», в виде дуг окружности. Современный символ дизъюнкции $\lor$ впервые встречается в статье «Математическая логика, основанная на теории типов»^[210] Бертрана Рассела (1908), в то время как конъюнкция обозначена там точкой на линии строки (знак дизъюнкции образован от лат. vel ‘или’; позднее возникла традиция двойным знаком дизъюнкции обозначать операцию строгой дизъюнкции^[211]). Современный символ конъюнкции $\land$ (перевёрнутый знак дизъюнкции) предложен Арендом Гейтингом (1930); распространённой альтернативой для него остаётся знак амперсанда &^[64]^[212].

В языках программирования для конъюнкции, дизъюнкции и строгой дизъюнкции применяются обычно другие обозначения (например, в языке Ада используются зарезервированные слова and, or и xor^[213], а в языках C и C++ — обозначения &, |, ^ для побитовых операций и &&, || для логических операций^[214]).

$\sim \ \lnot$

Логическое отрицание Джузеппе Пеано в 1897 году обозначил символом $\sim$ (тильда), похожим на минус; сейчас стандартным является близкий к нему символ $\lnot$ , предложенный Гейтингом в 1930 году^[64]^[212]. Используют для обозначения отрицания и горизонтальную черту над выражением, встречавшуюся ещё у Буля и Чарльза Пирса (1867)^[215]. В языках программирования для отрицания применяют и другие обозначения (так, в языке Ада используется зарезервированное слово not^[213], а в языках C и C++ — обозначения ~ для побитовой операции и ! для логического отрицания^[214]).

$\to \ \supset \ \equiv \ \leftrightarrow$

Первый логический символ, имеющий смысл «следовательно», предложил Иоганн Ран в 1659 году, он состоял из трёх точек: ${\dot {.\ .}}$ . Отред (1677) изображал следствие двумя надстрочными точками. Перевёрнутый символ: ${\dot {}}\,.{\dot {\ \,}}$ в XIX веке иногда заменял союз «потому что» в англоязычных странах^[60].

Знак $\to$ для обозначения импликации предложил Давид Гильберт (1922). Не менее распространён и знак ⊃, употреблявшийся в этом значении ещё Джузеппе Пеано (1898) и сменивший более раннее начертание ɔ данного знака (которое Пеано применял начиная с 1891 года). Для обозначения эквиваленции используют как символ тождества $\equiv$ (так поступал Рассел в уже упоминавшейся работе 1908 года), так и знак $\leftrightarrow$ , предложенный Альбрехтом Беккером (1933)^[212]^[216].

$\mid \ \downarrow$

Штрих Шеффера $\mid$ для обозначения операции антиконъюнкции ввёл Генри Шеффер, обосновавший в своей статье «Набор пяти независимых постулатов…»^[217] (1913) возможность построения логики высказываний на основе единственной логической операции — антиконъюнкции^[218]. Результаты Шеффера, впрочем, предвосхитил Чарльз Пирс (1880), который в неопубликованной при его жизни работе «Булева алгебра с одной константой» фактически осуществил такое построение на основе другой операции — антидизъюнкции, для обозначения которой обычно используют знак $\downarrow$ (стрелка Пирса)^[219]^[220].

$\forall \ \exists$

Первые символы для кванторов появились в 1879 году в книге Готлоба Фреге «Исчисление понятий»; обозначения Фреге основывались на громоздкой двумерной нотации и в дальнейшем широкого распространения не получили. Впоследствии были предложены более удачные обозначения; например, Оскар Митчелл в 1883 году и Чарльз Пирс в 1885 году использовали заглавные греческие буквы $\Pi$ и $\Sigma$ (сам термин «квантор» также предложил Пирс)^[221]. Общепринятым для квантора существования стало обозначение $\exists$ (Джузеппе Пеано, 1897), а для квантора общности — символ $\forall$ , образованный Герхардом Генценом в 1935 году по аналогии с символом Пеано; эти символы представляют собой перевёрнутые первые буквы английских слов Exists ‘существует’ и All ‘все’^[222]^[223].

$\vdash$

(турникет) введён, по существу, Фреге (1879) в уже упоминавшейся книге «Исчисление понятий»^[224]. В современном начертании встречается у Бертрана Рассела (1908)^[210].

$\lambda x.E$

Выражение $\lambda x.E$ означает «функция, сопоставляющая каждому значению аргумента $x$ соответствующее значение выражения $E$ » (где $E$ в общем случае зависит от $x$ ). Оператор λ-абстракции и основанное на его использовании λ-исчисление предложены Алонзо Чёрчем в конце 1920-х годов (первая публикация — его статья^[225] 1932 года, в которой Чёрч, правда, ещё писал $\lambda x[E]$ ; современный стандартный вид нотация приняла к 1941 году)^[226].

$\in \ \cap \ \cup \ \subset \ \supset$

На символику теории множеств большое влияние оказала тесно связанная с ней и уже хорошо разработанная к концу XIX века символика математической логики. Знак принадлежности $\in$ (по происхождению — стилизованная буква ε в греч. εστι ‘быть’) был введён Джузеппе Пеано (1889) в работе «Основания арифметики, изложенные новым способом»^[227]. Он же является автором символов пересечения и объединения множеств (1888). Теоретико-множественные символы «содержится» и «содержит» появились в 1890 году у Эрнста Шрёдера^[212]^[228].

$\aleph \ \omega \ c$

В 1880-е годы Георг Кантор открыл иерархию бесконечных множеств и упорядочил их по мощности. Наименьшую из них — мощность натурального ряда — он обозначил первой буквой еврейского алфавита «алеф» с нулевым индексом: $\aleph _{0}.$ Порядковое число натурального ряда Кантор обозначил буквой $\omega ,$ последней буквой греческого алфавита. Мощность множества вещественных чисел принято обозначать буквой $c$ (от слова continuum ‘непрерывность’)^[229]^[230].

$\varnothing$

Знак $\varnothing$ для обозначения пустого множества предложил в 1939 году Андре Вейль в ходе работы группы Бурбаки над подготовкой к изданию книги «Теория множеств. Сводка результатов» трактата «Элементы математики» (в качестве прототипа знака была использована буква норвежского алфавита с тем же начертанием)^[231].

$f\colon X\rightarrow Y$

Обозначение $f\colon X\rightarrow Y$ для отображения множества X в множество Y впервые появилось в 1940 году в лекциях Витольда Гуревича по относительным гомотопическим группам^[232].

Другие обозначения

%

Символ процента появился в середине XVII века сразу в нескольких источниках, его происхождение неясно. Есть гипотеза, что он возник от ошибки наборщика, который сокращение cto (cento, сотая доля) набрал как 0/0. Более вероятно, что это скорописный коммерческий значок, возникший лет на 100 раньше^[233].

$C_{n}^{k}\ {n \choose k}\ A_{n}^{k}$

Обозначение $C_{n}^{k}$ для числа сочетаний (или, что то же самое, для биномиальных коэффициентов) появилось в 1880 году у английского математика Роберта Поттса (Robert Potts, 1805—1885), оно происходит от лат. combinatio — сочетание. При этом в обозначении Поттса верхний символ $k$ располагался слева, а не справа от буквы C. В западной литературе распространён второй вариант обозначения: ${n \choose k},$ предложенный Эйлером, но и он вначале отличался от современного: $n,k$ у Эйлера были переставлены и разделены горизонтальной чертой, как у дроби. Принятые сейчас на Западе обозначения стандартизовал немецкий математик Андреас фон Эттингсгаузен в книге «Комбинаторный анализ» (1827 год), затем их поддержал Йозеф Людвиг Раабе (1851 год). Обозначение $A_{n}^{k}$ для числа размещений предложил в 1904 году другой немецкий математик Ойген Нетто, по аналогии с числом сочетаний^[234] ^[235].

$\infty \ +\infty \ -\infty$

Символ бесконечности придумал Джон Валлис, опубликован в 1655 году^[28]. У Вейерштрасса появились (1876) и нашли широкое применение в анализе две модификации этого символа: плюс-бесконечность и минус-бесконечность^[230].

$x_{n}$

Индексацию для нумерации однородных переменных в современном виде ввёл Ньютон (1717). Первое время, из-за типографских ограничений, индексы печатались не ниже строки, а на том же уровне. Двойные индексы (для элементов матриц) ввёл в общее пользование Якоби (1835)^[236].

${\cancel {0}}\ {\cancel {O}}$

В инженерной практике перечёркнутый кружок используется для обозначения диаметра (символ Unicode-8960)^[237]. При работе с компьютером из-за опасности спутать цифру 0 с латинской или русской буквой О одно время действовала рекомендация (особо актуальная при записи программ на бланках кодирования) нуль перечёркивать^[238]: ${\cancel {0}}$ (иногда поступали наоборот: при программировании на ЭВМ «Минск-32» перечёркивали букву О, а не нуль^[239]). В эпоху персональных компьютеров, работавших под управлением MS-DOS, в текстовом режиме работы дисплея и на многих матричных принтерах нуль также выводился в перечёркнутом виде (некоторые принтеры имели встроенные переключатели для включения и отключения режима перечёркивания нуля)^[240]^[241]. В современных компьютерных шрифтах буква О заметно шире нуля, так что перечёркивание обычно не требуется.

См. также

Математические обозначения
Таблица математических символов
Таблица обозначений абстрактной алгебры
Категория:Математические знаки

Примечания

Комментарии

↑ В книге Н. В. Александровой конечный уголок изображён неверно, см. фотокопию страницы книги Бомбелли в книге: Cajori F., vol. 1, § 144.

Источники

↑ Mazur J., 2014, Chapter 20. Rendezvous in the Mind.
↑ Юшкевич А. П. Лейбниц и основание исчисления бесконечно малых // Успехи математических наук. — 1948. — Т. 3, № 1(23). — С. 155—156.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §199.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §639.
↑ История математики, том I, 1970, с. 12—13.
↑ ¹ ² История математики, том I, 1970, с. 21.
↑ Gardiner Alan H. Egyptian grammar: being an introduction to the study of hieroglyphs 3rd ed., rev. London: 1957, p. 197.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §200.
↑ O'Connor J. J., Robertson E. F. An overview of Babylonian mathematics (неопр.). Дата обращения 23 декабря 2015.
↑ История математики, том I, 1970, с. 42.
↑ История математики, том I, 1970, с. 157—161.
↑ Martzloff, Jean-Claude. A History of Chinese Mathematics. — Springer, 1997. — P. 197—200. — ISBN 3-540-33782-2.
↑ История математики, том I, 1970, с. 62—64.
↑ ¹ ² ³ Александрова Н. В., 2008, с. 48—50.
↑ История математики, том I, 1970, с. 144—145.
↑ Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. — М.: Наука, 1972 (репринт М.: ЛКИ, 2007). — 68 с.
↑ Володарский А. И. Математика в древней Индии // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1975. — № 20. — С. 289.
↑ История математики, том I, 1970, с. 181—183.
↑ История математики, том I, 1970, с. 188—189.
↑ История математики, том I, 1970, с. 185—186, 189.
↑ История математики, том I, 1970, с. 252.
↑ История математики, том I, 1970, с. 212—214, 227.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §134, 135.
↑ История математики, том I, 1970, с. 286—290.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §122, 130.
↑ История математики, том I, 1970, с. 290—291.
↑ История математики, том I, 1970, с. 301—304, 306.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Математическая энциклопедия, 1979.
↑ ¹ ² История математики, том I, 1970, с. 308—311.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §176.
↑ История математики, том II, 1970, с. 22—23.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Александрова Н. В., 2008, с. 111—112.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §188.
↑ ¹ ² Александрова Н. В., 2008, с. 127.
↑ ¹ ² ³ История математики, том II, 1970, с. 41.
↑ ¹ ² ³ Александрова Н. В., 2008, с. 141.
↑ ¹ ² ³ Александрова Н. В., 2008, с. 123.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §185.
↑ ¹ ² ³ Александрова Н. В., 2008, с. 130—131.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §315.
↑ ¹ ² История математики, том II, 1970, с. 40—46.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §392.
↑ ¹ ² ³ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §359.
↑ ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §396—397.
↑ ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §372.
↑ История математики, том II, 1970, с. 234—237, 266.
↑ ¹ ² ³ Александрова Н. В., 2008, с. 142—143.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §622.
↑ История математики, том II, 1970, с. 255—257, 266.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 45—46.
↑ Mazur J., 2014, Chapter 18. The Symbol Master.
↑ ¹ ² Александрова Н. В., 2008, с. 54.
↑ ¹ ² ³ Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
↑ ¹ ² Rouse Ball W. W. A Short Account of the History of Mathematics. 4th ed. — Dover Publications, 2010. — 522 p. — (Dover Books on Mathematics). — ISBN 978-0486206301. — P. 242.
↑ ¹ ² Хайрер Э., Ваннер Г. Математический анализ в свете его истории. — М.: Научный мир, 2008. — 396 с. — ISBN 978-5-89176-485-9. — С. 172.
↑ ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 78—79 (§451).
↑ ¹ ² ³ Александрова Н. В., 2008, с. 150—151.
↑ ¹ ² Александрова Н. В., 2008, с. 63.
↑ ¹ ² Александрова Н. В., 2008, с. 22—23.
↑ ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §667—670.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §677—678.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §685—691.
↑ ¹ ² Александрова Н. В., 2008, с. 67.
↑ ¹ ² ³ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 281—314.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §695.
↑ Орлов С. А. Теория и практика языков программирования: Учебник для вузов. Стандарт 3-го поколения. — М.: Питер, 2013. — С. 148—149. — 688 с. — ISBN 978-5-496-00032-1.
↑ Акимов П. А., Кайтуков Т. Б., Мозгалева М. Л., Сидоров В. Н. Строительная информатика. — М.: АСВ, 2014. — С. 56. — 432 с. — ISBN 978-5-4323-0066-9.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 214—215.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 114.
↑ Chrisomalis S. Numerical Notation: A Comparative History. — Cambridge: Cambridge University Press, 2010. — ix + 486 p. — ISBN 978-0-521-87818-0. — P. 195.
↑ Joseph G. G. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. 3rd edition. — Princeton: Princeton University Press, 2011. — xxvii + 561 p. — ISBN 978-0-691-13526-7. — P. 339.
↑ Пушкин А. С. Полное собрание сочинений. — М.: Правда, 1954. — Т. 5. — С. 286.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §96.
↑ Jean-Claude Martzloff. A History of Chinese Mathematics. — Springer, 1997. — ISBN 3-540-33782-2.
↑ Berggren J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. — Princeton: Princeton University Press, 2007. — С. 518. — ISBN 978-0-691-11485-9.
↑ Гутер Р. С., Полунов Ю. Л. Джон Непер, 1550—1617. — М.: Наука, 1980. — 226 с. — (Научно-биографическая литература). — С. 197—204.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §276—277.
↑ Цейтен Г. Г., 1938, с. 136.
↑ ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §186, 195, 282.
↑ Глейзер Г. И., 1981, с. 43.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §286—288.
↑ ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §91.
↑ The International System of Units (SI) (неопр.). Дата обращения 30 декабря 2015.: «Following the 9th CGPM (1948, Resolution 7) and the 22nd CGPM (2003, Resolution 10), for numbers with many digits the digits may be divided into groups of three by a thin space, in order to facilitate reading. Neither dots nor commas are inserted in the spaces between groups of three».
↑ Part 0: General principles, Sect. 3.3 // International standard ISO 31-0: Quantities and units. — Geneva: International Organization for Standardization, 1992.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §212.
↑ Mazur J., 2014, Chapter 17. A Catalogue of Symbols.
↑ История математики, том I, 1970, с. 42, 144—145, 308—310.
↑ История математики, том II, 1970, с. 22, 40—41.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §340—341.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §498—500.
↑ Hexadecimal (неопр.). Дата обращения 21 февраля 2016.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §201—209.
↑ Cardano's Ars Magna, page 4 (неопр.). Дата обращения 8 октября 2013.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 126—127.
↑ ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §217, 232—233.
↑ Приёмы ускоренного умножения (неопр.) (2 марта 2008). Дата обращения 12 января 2016.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §218—230.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §235—239.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 40.
↑ ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §164.
↑ Divide symbols (англ.) (недоступная ссылка). Дата обращения 22 августа 2015. Архивировано 14 мая 2011 года.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §161.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 170—171.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §195, 342—350.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §210.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §290—297.
↑ Глейзер Г. И., 1982, с. 59—60.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §298—301, 307—309.
↑ ¹ ² Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI—XVII вв. — М.: Наука, 1979. — 208 с. — (История науки и техники). — С. 81.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §318—321.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §328—333.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 22—23, 106, 218.
↑ ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §260—268.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, p. 139.
↑ ¹ ² Math4school.
↑ Ben-Menahem A., 2007, p. 5503.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 173, 183.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 144.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 120, 190.
↑ Earliest Uses of Symbols from Geometry (англ.). Дата обращения 22 августа 2015.
↑ ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §514—515.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 124—125.
↑ Livio M. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number. — NY: , 2002. — viii + 294 p. — ISBN 0-7679-0815-5. — P. 5—6, 72—75.
↑ Sen S. K., Agarwal R. P. Golden ratio in science, as random sequence source, its computation and beyond // Computers & Mathematics with Applications. — 2008. — Vol. 56, no. 2. — P. 469—498. — DOI:10.1016/j.camwa.2007.06.030.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §408.
↑ Paul Pollack. Earliest Uses of Symbols of Number Theory (неопр.). Дата обращения 22 октября 2017.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §409.
↑ Дональд Кнут. Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы. — М.: Мир, 1976. — С. 81. — 736 с.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 199—200.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 14.
↑ Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 1. Основные алгоритмы. — М.: Мир, 1976. — 735 с. — С. 68.
↑ ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §407.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §643—646.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 204—205.
↑ Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей, 1977, с. 82.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §469—471.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 150, 158, 170.
↑ ¹ ² Earliest Uses of Symbols for Trigonometric and Hyperbolic Functions (неопр.). Дата обращения 7 января 2016.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 166.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 150, 163, 166.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 170.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 210—211.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 172—174.
↑ Гиперболические функции // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §211.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 168.
↑ Ben-Menahem A., 2007, p. 5503—5504.
↑ Earliest Uses of Function Symbols (неопр.). Дата обращения 8 января 2016.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 280—281.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 278.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 272—275.
↑ Соломенцев Е. Д. Амплитуда эллиптического интеграла // Математическая энциклопедия. Т. 1 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — 1152 стб. — Стб. 243.
↑ ¹ ² Соломенцев Е. Д. Якоби эллиптические функции // Математическая энциклопедия. Т. 5 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — 1248 стб. — Стб. 1054—1058.
↑ Соломенцев Е. Д. Вейерштрасса эллиптические функции // Математическая энциклопедия. Т. 1 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — 1152 стб. — Стб. 621—624.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 279.
↑ ¹ ² Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. Ч. 1. — М.: ИИЛ, 1949. — 798 с. — С. 70—71, 88, 92.
↑ Vallée O., Soares M. Airy Functions and Applications to Physics. — London: , 2004. — x + 194 p. — ISBN 1-86094-478-7. — P. 4.
↑ Федорюк М. В. Эйри функции // Математическая энциклопедия. Т. 5 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — 1248 стб. — Стб. 939—941.
↑ Airy Function Ai: Introduction to the Airy functions (неопр.). // The Wolfram Functions Site. Дата обращения 5 февраля 2016.
↑ Curry H. B., Schoenberg I. J. On spline distributions and their limits: The Pólya distribution functions // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1947. — Vol. 53, no. 11. — P. 1114.
↑ Тихомиров В. М., 1987, с. 190.
↑ Завьялов Ю. С., Леус В. А., Скороспелов В. А. Сплайны в инженерной геометрии. — М.: Машиностроение, 1985. — 224 с. — С. 46—47.
↑ Практическое руководство по сплайнам. — М.: Радио и связь, 1985. — 304 с. — С. 86—87, 91.
↑ Кравченко В. Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям. — М.: Радиотехника, 2003. — 510 с. — ISBN 5-93108-019-8. — С. 272.
↑ Рвачов В. Л., Рвачов В. О. Про одну фінітну функцію // ДАН УРСР. Сер. А. — 1971. — № 8. — С. 705—707.
↑ Тихомиров В. М., 1987, с. 202—203.
↑ Теория R-функций и актуальные проблемы прикладной математики / Отв. ред. В. И. Моссаковский. — Киев: Наукова думка, 1986. — 264 с. — С. 46.
↑ Dirac P. A. M. The Physical Interpretation of the Quantum Dynamics // Proceedings of the Royal Society. — 1927. — Vol. 113. — P. 621—641.
↑ Dirac P. A. M. The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation // Proceedings of the Royal Society. — 1927. — Vol. 114. — P. 243—265.
↑ Егоров Ю. В. К теории обобщённых функций // Успехи математических наук. — 1990. — Т. 45, вып. 5. — С. 3—40.
↑ Bernstein J. A Chorus of Bells and Other Scientific Inquiries. — Singapore: World Scientific, 2014. — xii + 274 p. — ISBN 978-9-81-457894-3. — P. 70—71.
↑ Lützen J. The Prehistory of the Theory of Distributions. — NY: Springer Science & Business Media, 2012. — viii + 232 p. — (Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Vol. 7). — ISBN 978-1-4613-9474-7. — P. 115—116.
↑ Боголюбов А. Н. Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — 639 с. — С. 118.
↑ Глейзер Г. И., 1983, с. 91.
↑ ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §506, 509.
↑ Hall B. C. Quantum Theory for Mathematicians. — NY: Springer Science & Business Media, 2013. — xvi + 553 p. — (Graduate Texts in Mathematics. Vol. 267). — ISBN 978-1-4614-7115-8. — P. 85.
↑ Banach S. Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales // Fundamenta Mathematicae. — 1922. — Vol. 3. — P. 133—181.
↑ Megginson R. E. An Introduction to Banach Space Theory. — NY: Springer Science & Business Media, 2012. — xix + 598 p. — (Graduate Texts in Mathematics. Vol. 183). — ISBN 978-1-4612-0603-3. — P. ix—x.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 97.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §462.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §510.
↑ ¹ ² Александрова Н. В., 2008, с. 168.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §400—401.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 45, 153.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §572.
↑ История математики, том II, 1970, с. 234, подстрочное примечание 2.
↑ Landau E. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. — Leipzig: Teubner, 1909. — xviii + 961 S. — S. 883.
↑ Narkiewicz W. The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood. — NY: Springer Science & Business Media, 2013. — xii + 449 p. — ISBN 978-3-662-13157-2. — P. xi.
↑ Leibniz G. W. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, & singulare pro illis calculi genus // Acta Eruditorum. — 1684. — Vol. 3. — P. 467—473.
↑ Leibniz G. W. Responsio ad nonnullas difficultates a Dn. Bernardo Niewentijt circa methodum differentialem seu infinitesimalem motas // Acta Eruditorum. — 1695. — P. 310—316.
↑ Рыбников К. А. История математики. 2-е изд. — М.: Издательство МГУ, 1974. — 456 с. — С. 182—183.
↑ Bos H. J. M. Differentials, higher-order differentials and the derivative in the Leibnizian calculus // Archive for History of Exact Sciences. — 1974. — Vol. 14, no. 1. — P. 1—90.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §575.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §593—611.
↑ Leibniz G. W. De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum // Acta Eruditorum. — 1686. — Vol. 5. — P. 292—300.
↑ Дуран, Антонио Х. Истина в пределе. Анализ бесконечно малых. — М.: Де Агостини, 2014. — С. 86. — 144 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 14). — ISBN 978-5-9774-0708-3.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, § 620.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §539—541.
↑ ¹ ² Александрова Н. В., 2008, с. 58—59.
↑ Юшкевич А. П. Развитие понятия предела до К. Вейерштрасса // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1986. — № 30. — С. 76.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 133—135.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §631—637.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §626.
↑ Domínguez A. A History of the Convolution Operation // IEEE Pulse. — 2015. — Vol. 6, no. 1. — P. 38—49.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 107—108.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §592.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 37, 44, 158.
↑ Carl Anton Bretschneider. Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova (13 October 1835) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1837. — Vol. 17. — P. 257—285.
↑ Кондаков Н. И., 1975, с. 534—540.
↑ ¹ ² Russell B. Mathematical Logic as Based on the Theory of Types // American Journal of Mathematics. — 1908. — Vol. 30, no. 3. — P. 222—262.
↑ Кондаков Н. И., 1975, с. 150.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic (неопр.).
↑ ¹ ² Вегнер П. Программирование на языке Ада. — М.: Мир, 1983. — 240 с. — С. 68.
↑ ¹ ² , Строуструп Б. Справочное руководство по языку программирования C++ с комментариями. — М.: Мир, 1992. — 445 с. — ISBN 5-03-002868-4. — С. 65, 86—87.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 291.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 299, 301.
↑ Sheffer H. M. A set of five independent postulates for Boolean algebras, with application to logical constants // Transactions of the American Mathematical Society. — 1913. — Vol. 14. — P. 481—488.
↑ Кондаков Н. И., 1975, с. 43, 672—673.
↑ Стяжкин Н. И., 1967, с. 443—444.
↑ Кондаков Н. И., 1975, с. 42, 571.
↑ Стяжкин Н. И., 1967, с. 357, 429—430, 438.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 72.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 293—314.
↑ Кондаков Н. И., 1975, с. 102.
↑ Church A. A Set of Postulates for the Foundation of Logic // Annals of Mathematics. Series 2. — 1932. — Vol. 33, no. 2. — P. 346—366.
↑ Seldin J. P. The Logic of Church and Curry // Logic from Russell to Church / Ed. by D. M. Gabbay & J. Woods. — Amsterdam: North-Holland, 2009. — xii + 1055 p. — (Handbook of the History of Logic. Vol. 5). — ISBN 978-0-444-51620-6. — P. 819—874.
↑ Marciszewski W., Murawski R. Mechanization of Reasoning in a Historical Perspective. — Amsterdam: Rodopi, 1995. — 267 p. — (Poznań Studies in the Philosophy of the Sciences and the Humanities, vol. 43). — ISBN 90-5183-790-9. — P. 162—163.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 294.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 104—106.
↑ ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §421.
↑ Weil A. The Apprenticeship of a Mathematician. — Basel: Birkhäuser Verlag, 1992. — 197 p. — ISBN 3-7643-2650-6. — P. 114.
↑ MacLane S. Categories for the Working Mathematician. — NY: Springer-Verlag, 1971. — ix + 261 p. — (Graduate Texts in Mathematics. Vol. 5). — ISBN 978-0-387-90036-0. — P. 29.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 148.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 74—75.
↑ Дональд Кнут. Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы. — М.: Мир, 1976. — С. 85. — 736 с.
↑ Александрова Н. В., 2008, с. 56—57.
↑ Большаков В. П., Тозик В. Т., Чагина А. В. Инженерная и компьютерная графика. — СПб.: БХВ-Петербург, 2013. — 288 с. — ISBN 978-5-9775-0422-5. — С. 90.
↑ Брич З. С., Воюш В. И., Дегтярёва Г. С., Ковалевич Э. В. Программирование на языке Ассемблера ЕС ЭВМ. — М.: Статистика, 1976. — 296 с. — С. 13—14, 19.
↑ Кулаковская В. П., Романовская Л. М., Савченко Т. А., Фельдман Л. С. Кобол ЭВМ Минск-32. Пособие для работников вычислительных центров. — М.: Статистика, 1973. — 284 с.
↑ Брябрин В. М. Программное обеспечение персональных ЭВМ. 3-е изд. — М.: Наука, 1990. — 272 с. — ISBN 5-02-014824-5. — С. 17, 113—114.
↑ Смирнов Н. Н. Программные средства персональных ЭВМ. — Л.: Машиностроение, 1990. — 272 с. — ISBN 5-217-00029-5. — С. 13, 80—81.

Литература

Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
- Переиздание 2015 года: URSS, ISBN 978-5-382-01578-1.
Башмакова И. Г. Становление алгебры (из истории математических идей). — М.: Знание, 1979. — 64 с. — (Математика, кибернетика, № 9 (1979)).
Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — 468 с. — С. 13—17.
Глейзер Г. И. История математики в школе. IV — VI классы. — М.: Просвещение, 1981. — 239 с.
Глейзер Г. И. История математики в школе. VII — VIII классы. — М.: Просвещение, 1982. — 240 с.
Глейзер Г. И. История математики в школе. IX — X классы. — М.: Просвещение, 1983. — 351 с.
Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. 2-е изд. — М.: Просвещение, 1965. — 416 с. — С. 208—212.
Знаки математические // Большая советская энциклопедия. — Изд. 3-е. — Т. 9.
Знаки математические // Математическая энциклопедия. Т. 2 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — 1104 стб. — Стб. 457—463.
Знаки математические // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — 352 с. — С. 114—116.
История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах:
- История математики. Т. I. С древнейших времён до начала Нового времени / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — 352 с.
- История математики. Т. II. Математика XVII столетия / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — 301 с.
- История математики. Т. III. Математика XVIII столетия / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1972. — 496 с.
Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. 2-е изд. — М.: Наука, 1975. — 720 с.
Кэджори Ф. История элементарной математики. 2-е изд / Пер. с англ. под ред. И. Ю. Тимченко. — Одесса: Mathesis, 1910. — x + 368 с.
Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. — М.: Наука, 1967. — 508 с.
Тихомиров В. М. Теория приближений // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 14. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1987. — 272 с. — С. 103—260.
Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1976. — 318 с.
Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1977. — 224 с.
Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. — М.-Л.: ОНТИ, 1938. — 456 с.
Ben-Menahem A. Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences. Vol. 1. — Berlin: Springer-Verlag, 2007. — cxxix + 5985 p. — ISBN 978-3-540-68831-0.
Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint). — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.
Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 2 (1929 reprint). — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xii + 392 p. — ISBN 978-1-60206-713-4.
Mazur J. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. — Princeton: Princeton University Press, 2014. — 312 p. — ISBN 978-0-69115-463-3.

Ссылки

Математические знаки (неопр.). Дата обращения 30 декабря 2015.
Čižmár, Ján. The origins and development of mathematical notation (A historical outline) (англ.). Дата обращения 4 февраля 2016.
Earliest Uses of Various Mathematical Symbols (англ.). Дата обращения 17 декабря 2015.
Michon, Gérard P. Scientific Symbols and Icons (англ.). Дата обращения 17 декабря 2015.
Weaver D., Smith A. D. The History of Mathematical Symbols (англ.). Дата обращения 23 января 2016. Архивировано 20 февраля 2001 года.

[103] В книге Н. В. Александровой конечный уголок изображён неверно, см. фотокопию страницы книги Бомбелли в книге: Cajori F., vol. 1, § 144.

[_c01e02214520b401-1] Mazur J., 2014, Chapter 20. Rendezvous in the Mind.

[2] Юшкевич А. П. Лейбниц и основание исчисления бесконечно малых // Успехи математических наук. — 1948. — Т. 3, № 1(23). — С. 155—156.

[_b8bbfa289ef7aad0-3] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §199.

[_2feec3d5a9eb4fd4-4] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §639.

[_abfac7f5fcf9db3e-5] История математики, том I, 1970, с. 12—13.

[IM1-21-6] ¹ ² История математики, том I, 1970, с. 21.

[7] Gardiner Alan H. Egyptian grammar: being an introduction to the study of hieroglyphs 3rd ed., rev. London: 1957, p. 197.

[_7cb62151db1a542f-8] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §200.

[9] O'Connor J. J., Robertson E. F. An overview of Babylonian mathematics (неопр.). Дата обращения 23 декабря 2015.

[_d38e2bff819f1af7-10] История математики, том I, 1970, с. 42.

[_3905b636fc4cdd0a-11] История математики, том I, 1970, с. 157—161.

[12] Martzloff, Jean-Claude. A History of Chinese Mathematics. — Springer, 1997. — P. 197—200. — ISBN 3-540-33782-2.

[_29791e08335c3e53-13] История математики, том I, 1970, с. 62—64.

[AL48-14] ¹ ² ³ Александрова Н. В., 2008, с. 48—50.

[_41f70b4b45265170-15] История математики, том I, 1970, с. 144—145.

[16] Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. — М.: Наука, 1972 (репринт М.: ЛКИ, 2007). — 68 с.

[17] Володарский А. И. Математика в древней Индии // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1975. — № 20. — С. 289.

[_a0d87e86a50ca5d7-18] История математики, том I, 1970, с. 181—183.

[_5a9f68ac689ca248-19] История математики, том I, 1970, с. 188—189.

[_646ce15fa18cb846-20] История математики, том I, 1970, с. 185—186, 189.

[_199b372941494a20-21] История математики, том I, 1970, с. 252.

[_491bef2cc2999f92-22] История математики, том I, 1970, с. 212—214, 227.

[_f64bbf79053316a8-23] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §134, 135.

[_167cacc697668df0-24] История математики, том I, 1970, с. 286—290.

[_7c0bc9c92c51a686-25] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §122, 130.

[_7a09354464793760-26] История математики, том I, 1970, с. 290—291.

[_11a6d7b65eee48f1-27] История математики, том I, 1970, с. 301—304, 306.

[ME-28] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Математическая энциклопедия, 1979.

[IM1-308-29] ¹ ² История математики, том I, 1970, с. 308—311.

[_8ccad716dc619ea7-30] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §176.

[_407f5b2f73079649-31] История математики, том II, 1970, с. 22—23.

[AL111-32] ¹ ² ³ ⁴ Александрова Н. В., 2008, с. 111—112.

[_0b6e811faffb26f6-33] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §188.

[AL127-34] ¹ ² Александрова Н. В., 2008, с. 127.

[IM2-41-35] ¹ ² ³ История математики, том II, 1970, с. 41.

[AL141-36] ¹ ² ³ Александрова Н. В., 2008, с. 141.

[AL123-37] ¹ ² ³ Александрова Н. В., 2008, с. 123.

[_81efa81ff4c6c3b9-38] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §185.

[AL130-39] ¹ ² ³ Александрова Н. В., 2008, с. 130—131.

[_f8d86225704da9c6-40] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §315.

[IM2-40-41] ¹ ² История математики, том II, 1970, с. 40—46.

[_df65bced9d8068a4-42] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §392.

[CAJ1-359-43] ¹ ² ³ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §359.

[CAJ2-396-44] ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §396—397.

[_7f90309a2dfeaeaa-45] ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §372.

[_5dc18110657dd367-46] История математики, том II, 1970, с. 234—237, 266.

[AL142-47] ¹ ² ³ Александрова Н. В., 2008, с. 142—143.

[_d93380ccebf4e4fc-48] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §622.

[_77539ddac7948aa4-49] История математики, том II, 1970, с. 255—257, 266.

[_156f6669e6429613-50] Александрова Н. В., 2008, с. 45—46.

[_83ea88becb1435ce-51] Mazur J., 2014, Chapter 18. The Symbol Master.

[AL54-52] ¹ ² Александрова Н. В., 2008, с. 54.

[_0d03cead6ed18a91-53] ¹ ² ³ Энциклопедический словарь юного математика, 1985.

[Rouse-54] ¹ ² Rouse Ball W. W. A Short Account of the History of Mathematics. 4th ed. — Dover Publications, 2010. — 522 p. — (Dover Books on Mathematics). — ISBN 978-0486206301. — P. 242.

[LIMES-55] ¹ ² Хайрер Э., Ваннер Г. Математический анализ в свете его истории. — М.: Научный мир, 2008. — 396 с. — ISBN 978-5-89176-485-9. — С. 172.

[Caj78-56] ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 78—79 (§451).

[AL150-57] ¹ ² ³ Александрова Н. В., 2008, с. 150—151.

[_105709758195c735-58] ¹ ² Александрова Н. В., 2008, с. 63.

[AL22-59] ¹ ² Александрова Н. В., 2008, с. 22—23.

[CAJ667-60] ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §667—670.

[_1bb4c3abdabfcce1-61] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §677—678.

[_412d03d95c25fa19-62] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §685—691.

[AL67-63] ¹ ² Александрова Н. В., 2008, с. 67.

[CAJ281-64] ¹ ² ³ History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 281—314.

[_8fe080291985d5ee-65] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §695.

[66] Орлов С. А. Теория и практика языков программирования: Учебник для вузов. Стандарт 3-го поколения. — М.: Питер, 2013. — С. 148—149. — 688 с. — ISBN 978-5-496-00032-1.

[67] Акимов П. А., Кайтуков Т. Б., Мозгалева М. Л., Сидоров В. Н. Строительная информатика. — М.: АСВ, 2014. — С. 56. — 432 с. — ISBN 978-5-4323-0066-9.

[_3099483fafd6ff8b-68] Александрова Н. В., 2008, с. 214—215.

[_59b659ab3189f21e-69] Александрова Н. В., 2008, с. 114.

[70] Chrisomalis S. Numerical Notation: A Comparative History. — Cambridge: Cambridge University Press, 2010. — ix + 486 p. — ISBN 978-0-521-87818-0. — P. 195.

[71] Joseph G. G. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. 3rd edition. — Princeton: Princeton University Press, 2011. — xxvii + 561 p. — ISBN 978-0-691-13526-7. — P. 339.

[72] Пушкин А. С. Полное собрание сочинений. — М.: Правда, 1954. — Т. 5. — С. 286.

[_0768ddcaa3c5ee5c-73] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §96.

[74] Jean-Claude Martzloff. A History of Chinese Mathematics. — Springer, 1997. — ISBN 3-540-33782-2.

[75] Berggren J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. — Princeton: Princeton University Press, 2007. — С. 518. — ISBN 978-0-691-11485-9.

[76] Гутер Р. С., Полунов Ю. Л. Джон Непер, 1550—1617. — М.: Наука, 1980. — 226 с. — (Научно-биографическая литература). — С. 197—204.

[_d4c0c02393d7fb74-77] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §276—277.

[_4c1ccd0b4befdb63-78] Цейтен Г. Г., 1938, с. 136.

[CAJ1-186-79] ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §186, 195, 282.

[_ca4451c9474b7f69-80] Глейзер Г. И., 1981, с. 43.

[_2e1fbe82d1241755-81] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §286—288.

[CAJ91-82] ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §91.

[83] The International System of Units (SI) (неопр.). Дата обращения 30 декабря 2015.: «Following the 9th CGPM (1948, Resolution 7) and the 22nd CGPM (2003, Resolution 10), for numbers with many digits the digits may be divided into groups of three by a thin space, in order to facilitate reading. Neither dots nor commas are inserted in the spaces between groups of three».

[84] Part 0: General principles, Sect. 3.3 // International standard ISO 31-0: Quantities and units. — Geneva: International Organization for Standardization, 1992.

[_d3b77348ed52c268-85] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §212.

[_24219c3da18632c2-86] Mazur J., 2014, Chapter 17. A Catalogue of Symbols.

[_97bfef813afc3b57-87] История математики, том I, 1970, с. 42, 144—145, 308—310.

[_ae1ac3b6228a81a1-88] История математики, том II, 1970, с. 22, 40—41.

[_7cecdbcf971ee2e8-89] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §340—341.

[_860695563ff1bb96-90] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §498—500.

[91] Hexadecimal (неопр.). Дата обращения 21 февраля 2016.

[_d4a5022ae0318da7-92] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §201—209.

[93] Cardano's Ars Magna, page 4 (неопр.). Дата обращения 8 октября 2013.

[_e593748b2c796f77-94] Александрова Н. В., 2008, с. 126—127.

[CAJ1-217-95] ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §217, 232—233.

[96] Приёмы ускоренного умножения (неопр.) (2 марта 2008). Дата обращения 12 января 2016.

[_64162a1e4fb14cb5-97] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §218—230.

[_1dbee2aef32e21c7-98] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §235—239.

[_105707758195c390-99] Александрова Н. В., 2008, с. 40.

[CAJ1-164-100] ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §164.

[101] Divide symbols (англ.) (недоступная ссылка). Дата обращения 22 августа 2015. Архивировано 14 мая 2011 года.

[_45813c106b2a9317-102] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §161.

[_0098bb7f87f7ec03-104] Александрова Н. В., 2008, с. 170—171.

[_258c04ef15e969d1-105] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §195, 342—350.

[_c4ff9548e5ba649e-106] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §210.

[_b0e1753cbe7919b2-107] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §290—297.

[_2c27c3927c692391-108] Глейзер Г. И., 1982, с. 59—60.

[_8e599b7b68917316-109] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §298—301, 307—309.

[NIK-110] ¹ ² Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI—XVII вв. — М.: Наука, 1979. — 208 с. — (История науки и техники). — С. 81.

[_2351ee8100a64e33-111] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §318—321.

[_2d37bf7d8db64f73-112] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §328—333.

[_67f0248951e0007b-113] Александрова Н. В., 2008, с. 22—23, 106, 218.

[CAJ1-260-114] ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §260—268.

[_c47185dbfb3e5a19-115] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, p. 139.

[_7f4f6f7166d2234d-116] ¹ ² Math4school.

[_14211c98dc594c43-117] Ben-Menahem A., 2007, p. 5503.

[_a888971bca488d9f-118] Александрова Н. В., 2008, с. 173, 183.

[_59b656ab3189ed25-119] Александрова Н. В., 2008, с. 144.

[_d129b3584608ca4b-120] Александрова Н. В., 2008, с. 120, 190.

[121] Earliest Uses of Symbols from Geometry (англ.). Дата обращения 22 августа 2015.

[CAJ514-122] ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §514—515.

[_4f97edbd03207ddf-123] Александрова Н. В., 2008, с. 124—125.

[124] Livio M. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number. — NY: , 2002. — viii + 294 p. — ISBN 0-7679-0815-5. — P. 5—6, 72—75.

[125] Sen S. K., Agarwal R. P. Golden ratio in science, as random sequence source, its computation and beyond // Computers & Mathematics with Applications. — 2008. — Vol. 56, no. 2. — P. 469—498. — DOI:10.1016/j.camwa.2007.06.030.

[_5c00ce9f81f15fbe-126] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §408.

[127] Paul Pollack. Earliest Uses of Symbols of Number Theory (неопр.). Дата обращения 22 октября 2017.

[CAJ409-128] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §409.

[129] Дональд Кнут. Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы. — М.: Мир, 1976. — С. 81. — 736 с.

[_b03df5859ccc3c57-130] Александрова Н. В., 2008, с. 199—200.

[_10570c758195cc2b-131] Александрова Н. В., 2008, с. 14.

[132] Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 1. Основные алгоритмы. — М.: Мир, 1976. — 735 с. — С. 68.

[CAJ407-133] ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §407.

[_162d4c219421f89b-134] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §643—646.

[_1261b754459cd667-135] Александрова Н. В., 2008, с. 204—205.

[_b5355158f0cdbb27-136] Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей, 1977, с. 82.

[_619fc5cb6230d631-137] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §469—471.

[_d3b612a36d86c13f-138] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 150, 158, 170.

[Trig-139] ¹ ² Earliest Uses of Symbols for Trigonometric and Hyperbolic Functions (неопр.). Дата обращения 7 января 2016.

[_dfc9c8146e08e792-140] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 166.

[_5e61c8a84b96df60-141] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 150, 163, 166.

[_dfc9c9146e08e967-142] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 170.

[_abad7a35773eb263-143] Александрова Н. В., 2008, с. 210—211.

[_02bad45bda96d467-144] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 172—174.

[145] Гиперболические функции // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

[_cf4e7848ec086a05-146] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §211.

[_59b654ab3189e993-147] Александрова Н. В., 2008, с. 168.

[_2804c7a0497a72a9-148] Ben-Menahem A., 2007, p. 5503—5504.

[149] Earliest Uses of Function Symbols (неопр.). Дата обращения 8 января 2016.

[_2f24b0cf9e65d7d8-150] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 280—281.

[_dfc6b9146e069868-151] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 278.

[_a4c0683fce86f596-152] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 272—275.

[153] Соломенцев Е. Д. Амплитуда эллиптического интеграла // Математическая энциклопедия. Т. 1 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — 1152 стб. — Стб. 243.

[Solo-154] ¹ ² Соломенцев Е. Д. Якоби эллиптические функции // Математическая энциклопедия. Т. 5 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — 1248 стб. — Стб. 1054—1058.

[155] Соломенцев Е. Д. Вейерштрасса эллиптические функции // Математическая энциклопедия. Т. 1 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — 1152 стб. — Стб. 621—624.

[_dfc6b9146e069869-156] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 279.

[Watson-157] ¹ ² Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. Ч. 1. — М.: ИИЛ, 1949. — 798 с. — С. 70—71, 88, 92.

[158] Vallée O., Soares M. Airy Functions and Applications to Physics. — London: , 2004. — x + 194 p. — ISBN 1-86094-478-7. — P. 4.

[159] Федорюк М. В. Эйри функции // Математическая энциклопедия. Т. 5 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — 1248 стб. — Стб. 939—941.

[160] Airy Function Ai: Introduction to the Airy functions (неопр.). // The Wolfram Functions Site. Дата обращения 5 февраля 2016.

[161] Curry H. B., Schoenberg I. J. On spline distributions and their limits: The Pólya distribution functions // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1947. — Vol. 53, no. 11. — P. 1114.

[_175efae7f5ac281b-162] Тихомиров В. М., 1987, с. 190.

[163] Завьялов Ю. С., Леус В. А., Скороспелов В. А. Сплайны в инженерной геометрии. — М.: Машиностроение, 1985. — 224 с. — С. 46—47.

[164] Практическое руководство по сплайнам. — М.: Радио и связь, 1985. — 304 с. — С. 86—87, 91.

[165] Кравченко В. Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям. — М.: Радиотехника, 2003. — 510 с. — ISBN 5-93108-019-8. — С. 272.

[166] Рвачов В. Л., Рвачов В. О. Про одну фінітну функцію // ДАН УРСР. Сер. А. — 1971. — № 8. — С. 705—707.

[_3d1f44dab56adff6-167] Тихомиров В. М., 1987, с. 202—203.

[168] Теория R-функций и актуальные проблемы прикладной математики / Отв. ред. В. И. Моссаковский. — Киев: Наукова думка, 1986. — 264 с. — С. 46.

[169] Dirac P. A. M. The Physical Interpretation of the Quantum Dynamics // Proceedings of the Royal Society. — 1927. — Vol. 113. — P. 621—641.

[170] Dirac P. A. M. The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation // Proceedings of the Royal Society. — 1927. — Vol. 114. — P. 243—265.

[171] Егоров Ю. В. К теории обобщённых функций // Успехи математических наук. — 1990. — Т. 45, вып. 5. — С. 3—40.

[172] Bernstein J. A Chorus of Bells and Other Scientific Inquiries. — Singapore: World Scientific, 2014. — xii + 274 p. — ISBN 978-9-81-457894-3. — P. 70—71.

[173] Lützen J. The Prehistory of the Theory of Distributions. — NY: Springer Science & Business Media, 2012. — viii + 232 p. — (Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Vol. 7). — ISBN 978-1-4613-9474-7. — P. 115—116.

[174] Боголюбов А. Н. Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — 639 с. — С. 118.

[_8a7a20cff1ccd446-175] Глейзер Г. И., 1983, с. 91.

[CAJ506-176] ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §506, 509.

[177] Hall B. C. Quantum Theory for Mathematicians. — NY: Springer Science & Business Media, 2013. — xvi + 553 p. — (Graduate Texts in Mathematics. Vol. 267). — ISBN 978-1-4614-7115-8. — P. 85.

[178] Banach S. Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales // Fundamenta Mathematicae. — 1922. — Vol. 3. — P. 133—181.

[179] Megginson R. E. An Introduction to Banach Space Theory. — NY: Springer Science & Business Media, 2012. — xix + 598 p. — (Graduate Texts in Mathematics. Vol. 183). — ISBN 978-1-4612-0603-3. — P. ix—x.

[_105714758195d980-180] Александрова Н. В., 2008, с. 97.

[_d7e4e8d1f0f94e16-181] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §462.

[_6e78b2a08f276a54-182] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §510.

[AL168-183] ¹ ² Александрова Н. В., 2008, с. 168.

[_3e853c2f3b956f9b-184] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §400—401.

[_98d9b2d407d026a2-185] Александрова Н. В., 2008, с. 45, 153.

[_ee6040b2830032ac-186] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §572.

[_9329bc226f9d2983-187] История математики, том II, 1970, с. 234, подстрочное примечание 2.

[188] Landau E. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. — Leipzig: Teubner, 1909. — xviii + 961 S. — S. 883.

[189] Narkiewicz W. The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood. — NY: Springer Science & Business Media, 2013. — xii + 449 p. — ISBN 978-3-662-13157-2. — P. xi.

[190] Leibniz G. W. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, & singulare pro illis calculi genus // Acta Eruditorum. — 1684. — Vol. 3. — P. 467—473.

[191] Leibniz G. W. Responsio ad nonnullas difficultates a Dn. Bernardo Niewentijt circa methodum differentialem seu infinitesimalem motas // Acta Eruditorum. — 1695. — P. 310—316.

[RYB182-192] Рыбников К. А. История математики. 2-е изд. — М.: Издательство МГУ, 1974. — 456 с. — С. 182—183.

[193] Bos H. J. M. Differentials, higher-order differentials and the derivative in the Leibnizian calculus // Archive for History of Exact Sciences. — 1974. — Vol. 14, no. 1. — P. 1—90.

[_bfa9d9b267935c75-194] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §575.

[_ccdab1c6fd440dd7-195] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §593—611.

[196] Leibniz G. W. De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum // Acta Eruditorum. — 1686. — Vol. 5. — P. 292—300.

[197] Дуран, Антонио Х. Истина в пределе. Анализ бесконечно малых. — М.: Де Агостини, 2014. — С. 86. — 144 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 14). — ISBN 978-5-9774-0708-3.

[_b86e6c568b2a891a-198] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, § 620.

[_dea6b4ae595bc6d3-199] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §539—541.

[AL58-200] ¹ ² Александрова Н. В., 2008, с. 58—59.

[201] Юшкевич А. П. Развитие понятия предела до К. Вейерштрасса // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1986. — № 30. — С. 76.

[_f5330dfee970004c-202] Александрова Н. В., 2008, с. 133—135.

[_793489ed4a844c25-203] History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §631—637.

[_b5b414ccd79c1fe8-204] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §626.

[205] Domínguez A. A History of the Convolution Operation // IEEE Pulse. — 2015. — Vol. 6, no. 1. — P. 38—49.

[_6a3f68034e4e4c19-206] Александрова Н. В., 2008, с. 107—108.

[_4b4054e29cf5e5a2-207] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, §592.

[_b14f5e50631497a8-208] Александрова Н. В., 2008, с. 37, 44, 158.

[209] Carl Anton Bretschneider. Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova (13 October 1835) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1837. — Vol. 17. — P. 257—285.

[_0f94ce3db51cacee-210] Кондаков Н. И., 1975, с. 534—540.

[Russell-211] ¹ ² Russell B. Mathematical Logic as Based on the Theory of Types // American Journal of Mathematics. — 1908. — Vol. 30, no. 3. — P. 222—262.

[_4dd552fa7a9e4e6f-212] Кондаков Н. И., 1975, с. 150.

[EUS-213] ¹ ² ³ ⁴ Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic (неопр.).

[Wegner-214] ¹ ² Вегнер П. Программирование на языке Ада. — М.: Мир, 1983. — 240 с. — С. 68.

[Ellis-215] ¹ ² , Строуструп Б. Справочное руководство по языку программирования C++ с комментариями. — М.: Мир, 1992. — 445 с. — ISBN 5-03-002868-4. — С. 65, 86—87.

[_dfc6c7146e06b02b-216] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 291.

[_03577e18063bdeff-217] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 299, 301.

[218] Sheffer H. M. A set of five independent postulates for Boolean algebras, with application to logical constants // Transactions of the American Mathematical Society. — 1913. — Vol. 14. — P. 481—488.

[_2bddb6ff7b02612b-219] Кондаков Н. И., 1975, с. 43, 672—673.

[_9f4eaf8254ca68e9-220] Стяжкин Н. И., 1967, с. 443—444.

[_c46e8238b057561e-221] Кондаков Н. И., 1975, с. 42, 571.

[_2d2a0b5cb5ef458a-222] Стяжкин Н. И., 1967, с. 357, 429—430, 438.

[_10570a758195c88b-223] Александрова Н. В., 2008, с. 72.

[_82d37af2d312bfbb-224] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 293—314.

[_4dd54dfa7a9e45d2-225] Кондаков Н. И., 1975, с. 102.

[226] Church A. A Set of Postulates for the Foundation of Logic // Annals of Mathematics. Series 2. — 1932. — Vol. 33, no. 2. — P. 346—366.

[227] Seldin J. P. The Logic of Church and Curry // Logic from Russell to Church / Ed. by D. M. Gabbay & J. Woods. — Amsterdam: North-Holland, 2009. — xii + 1055 p. — (Handbook of the History of Logic. Vol. 5). — ISBN 978-0-444-51620-6. — P. 819—874.

[228] Marciszewski W., Murawski R. Mechanization of Reasoning in a Historical Perspective. — Amsterdam: Rodopi, 1995. — 267 p. — (Poznań Studies in the Philosophy of the Sciences and the Humanities, vol. 43). — ISBN 90-5183-790-9. — P. 162—163.

[_dfc6c7146e06b02e-229] History of Mathematical Notations, vol. 2, 2007, p. 294.

[_a0f4b843d9c4d098-230] Александрова Н. В., 2008, с. 104—106.

[CAJ421-231] ¹ ² History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §421.

[232] Weil A. The Apprenticeship of a Mathematician. — Basel: Birkhäuser Verlag, 1992. — 197 p. — ISBN 3-7643-2650-6. — P. 114.

[233] MacLane S. Categories for the Working Mathematician. — NY: Springer-Verlag, 1971. — ix + 261 p. — (Graduate Texts in Mathematics. Vol. 5). — ISBN 978-0-387-90036-0. — P. 29.

[_59b656ab3189ed29-234] Александрова Н. В., 2008, с. 148.

[_632b6142f88f4ba1-235] Александрова Н. В., 2008, с. 74—75.

[236] Дональд Кнут. Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы. — М.: Мир, 1976. — С. 85. — 736 с.

[_62db5f2c5b5f6d95-237] Александрова Н. В., 2008, с. 56—57.

[238] Большаков В. П., Тозик В. Т., Чагина А. В. Инженерная и компьютерная графика. — СПб.: БХВ-Петербург, 2013. — 288 с. — ISBN 978-5-9775-0422-5. — С. 90.

[239] Брич З. С., Воюш В. И., Дегтярёва Г. С., Ковалевич Э. В. Программирование на языке Ассемблера ЕС ЭВМ. — М.: Статистика, 1976. — 296 с. — С. 13—14, 19.

[240] Кулаковская В. П., Романовская Л. М., Савченко Т. А., Фельдман Л. С. Кобол ЭВМ Минск-32. Пособие для работников вычислительных центров. — М.: Статистика, 1973. — 284 с.

[241] Брябрин В. М. Программное обеспечение персональных ЭВМ. 3-е изд. — М.: Наука, 1990. — 272 с. — ISBN 5-02-014824-5. — С. 17, 113—114.

[242] Смирнов Н. Н. Программные средства персональных ЭВМ. — Л.: Машиностроение, 1990. — 272 с. — ISBN 5-217-00029-5. — С. 13, 80—81.